Theorem numclwwlkovf2exlem1 27211

Description: Lemma 1 for numclwwlkovf2ex 27219: Transformation of a special half-open integer range into a union of a smaller half-open integer range and an unordered pair. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovf2exlem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((#‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)}))

Proof of Theorem numclwwlkovf2exlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 11699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		2cnd 11093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10392	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
5		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℂ))
7	4, 6	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
8		2cnd 11093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 10056	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	addsubd 10413	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((#‘𝑊) + 2) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) + 2))
11	10	oveq2d 6666	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((#‘𝑊) + 2) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) + 2)))
12		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 − 2) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 − 2) − 1))
14		uznn0sub 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 3) ∈ ℕ0)
15		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℂ)
16	1, 2, 15	subsub4d 10423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − (2 + 1)))
17		2p1e3 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
18	17	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − (2 + 1)) = (𝑁 − 3)
19	16, 18	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) = (𝑁 − 3))
20		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	eqcomi 2631	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
23	14, 19, 22	3eltr4d 2716	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((𝑁 − 2) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
25	13, 24	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
26		fzosplitpr 12577	. . 3 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)}))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) + 2)) = ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)}))
28	7, 9	npcand 10396	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
29	28	preq2d 4275	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → {((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)} = {((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)})
30	29	uneq2d 3767	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)}) = ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)}))
31	11, 27, 30	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (0..^(((#‘𝑊) + 2) − 1)) = ((0..^((#‘𝑊) − 1)) ∪ {((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  2c2 11070  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2ex  27219