Theorem fldiv4lem1div2uz2 12637

Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2uz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zre 11381	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		4re 11097	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6		4ne0 11117	. . . . . 6 ⊢ 4 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
8	3, 5, 7	redivcld 10853	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10		flle 12600	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
12		1red 10055	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
13		eluzelre 11698	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		rehalfcl 11258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15	1, 2, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
16		2rp 11837	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
18		eluzle 11700	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
19		divge1 11898	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
20	17, 13, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21		eluzelcn 11699	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		subhalfhalf 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
24	20, 23	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
25	12, 13, 15, 24	lesubd 10631	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1))
26		2t2e4 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
27	26	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 4 = (2 · 2))
29	28	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = (𝑁 / (2 · 2)))
30		2cnne0 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
32		divdiv1 10736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
33	21, 31, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
34	29, 33	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) = ((𝑁 / 2) / 2))
35	34	breq1d 4663	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
36		peano2rem 10348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
37		2re 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
38		2pos 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
39	37, 38	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
41	14, 36, 40	3jca 1242	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
42	1, 2, 41	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
43		lediv1 10888	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 / 2) / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
45	35, 44	bitr4d 271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (𝑁 / 2) ≤ (𝑁 − 1)))
46	25, 45	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
47	8	flcld 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
48	47	zred 11482	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
49	36	rehalfcld 11279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
50	48, 8, 49	3jca 1242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
51	1, 2, 50	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
52		letr 10131	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ∧ (𝑁 / 4) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
54	11, 46, 53	mp2and 715	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  4c4 11072  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ⌊cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  12638  gausslemma2dlem4  25094