Theorem nn0sumshdiglemB 42414

Description: Lemma for nn0sumshdig 42417 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdiglemB	⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑘,𝑎,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 11765	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1t1e1 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
3	2	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 · 1)
4		simpl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 + 1) = (#b‘𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b‘𝑎)))
6	5	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b‘𝑎)))
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 1 → (#b‘𝑎) = (#b‘1))
8		blen1 42378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#b‘1) = 1
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (#b‘𝑎) = 1)
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#b‘𝑎)) = (0..^1))
11		fzo01 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^1) = {0}
12	10, 11	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → (0..^(#b‘𝑎)) = {0})
13	6, 12	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
14	13	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
17	16	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
19		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	19, 19	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) ∈ ℂ
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid2 4298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24		0dig2pr01 42404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(digit‘2)1) = 1
26	21, 25	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
29		exp0 12864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑0) = 1
31	27, 30	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
32	26, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
33	32	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
34	18, 20, 33	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
35	17, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
37	14, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
38	3, 4, 37	3eqtr4a 2682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 1 ∧ (#b‘𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
39	38	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
40	39	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41	40	2a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43		nn0ob 15100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
44	43	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
46		blennngt2o2 42386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
47	46	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
48	45, 47	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
49	48	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (#b‘𝑥) = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)))
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#b‘𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
54	53	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
55	54	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
56	52, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
57	51, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
58	57	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
59		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
60		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
61	60	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
62		blennn0elnn 42371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
63	62	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
66		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
67	61, 65, 66	addcan2d 10240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2))))
68		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
69		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
71		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
74	73	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
75		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
76		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
77	75, 76	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘0))
79		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℕ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
81		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
83		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
84	42, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
87		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
88	80, 82, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
90	89	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
91	90	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
92	91	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
93		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ∈ ℕ0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
95		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96	94, 95	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
97	96	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
99	92, 98	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
100		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
101	100, 27	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
102	30	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
103	101, 102	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
104	78, 99, 103	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
105	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
106	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
107	106	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
108		0dig2nn0o 42407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109	105, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110	109	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
112	111, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
113		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℤ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
115		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 + 1) = 1
116	115, 113	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
118	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
119		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
121	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
122	121, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
123	118, 120, 122, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
126	125	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
127	126	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
128	127	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
129		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
130		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
131	130	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132	115	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
133	131, 132	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134	129, 133	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
136	128, 135	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
137		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
138		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
139	137, 138	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140	114, 117, 70, 136, 139	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
141	112, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
142	74, 104, 141	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
144	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
145		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
147		nn0rp0 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
150		digvalnn0 42393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
151	144, 146, 149, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
152	151	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
153	152	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154	153	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
155	154	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
156	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
157		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
158	156, 157	nn0expcld 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
159	158	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
161		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
162	155, 160, 161	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
163	162	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164	163	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
166		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 0 ∈ ℂ
167		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 + 1) − 1) = 0
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
171		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
172	69, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
173	170, 172	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174	173	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
175		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2))
176		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
177	168	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
178	176, 177	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
179		dignn0flhalf 42412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180	175, 178, 179	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
181		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℤ)
183		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
184		zob 15083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185	181, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
186	183, 185	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
187	186	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
188	182, 187	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189	188	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190	189	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
192		zofldiv2 42325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195	180, 194	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
196		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
197	196, 178	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198	197	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
199	195, 198	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200	174, 199	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201	200	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
202		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
203		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
204	202, 203	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
205	204	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
206	205	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207	206	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
208	207	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
209	208	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
210		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0..^𝑦) ∈ Fin
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
212		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
213	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
214	152, 213	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
215	214	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
217	216	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
218	217	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
219	211, 212, 218	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
220	209, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
221	165, 201, 220	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
222	221	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
223		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
224		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
225	223, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
226		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
227		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 2 ≠ 0
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 0)
229	225, 226, 228	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230	229	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
231		divcan1 10694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
232	230, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
233	232	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
234		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
235	234, 223	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
236	235	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
237		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
238	236, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
239	233, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240	239	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
241	240	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
242	143, 222, 241	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
243	242	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
244	243	imim2i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245	244	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
246	68, 245	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
247	67, 246	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
248	247	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249	248	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
250	59, 249	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251	250	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
252	251	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
253	252	exp4c 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254	253	com35 98	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
255	58, 254	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256	255	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
257	256	pm2.43a 54	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
258	257	com25 99	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
259	258	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
260	49, 259	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
261	260	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
262	41, 261	jaoi 394	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
263	1, 262	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
264	263	imp31 448	1 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑥) = 𝑦 → 𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200  {csn 4177  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  [,)cico 12177  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  ⌊cfl 12591  ↑cexp 12860  Σcsu 14416  #_bcblen 42363  digitcdig 42389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503  df-blen 42364  df-dig 42390

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem1  42415