Theorem jm2.17a 37527

Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑0))
2		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
4	1, 3	breq12d 4666	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
5	4	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏))
7		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9	6, 8	breq12d 4666	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
10	9	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)))
12		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
13	12	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
14	11, 13	breq12d 4666	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
15	14	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁))
17		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
18	17	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
19	16, 18	breq12d 4666	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
20	19	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21		1le1 10655	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 1)
23		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		eluzelcn 11699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 10280	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
30	29	exp0d 13002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) = 1)
31		0p1e1 11132	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33		rmy1 37495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
34	32, 33	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
35	22, 30, 34	3brtr4d 4685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
40	36, 38, 39	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
46	43, 45	reexpcld 13025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47	46	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
49		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
51	50	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
52		frmy 37479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
53	52	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
54	53	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
55	48, 51, 54	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	55, 43	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
57	56	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
58	51	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
59	52	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
60	59	zred 11482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
61	48, 58, 60	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62	61	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63	29	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
64		simp1 1061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
65	63, 64	expp1d 13009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)))
66		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	43, 66	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
71		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	68, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
73		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
74		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
75	72, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
76	43, 75	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1)))
77	67, 55, 76	3jca 1242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))))
78		lemul1a 10877	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
79	77, 78	stoic3 1701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
80	65, 79	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
81		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
83		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
84	82, 27, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
86	52	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
87	86	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
88	48, 50, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
89	85, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
90		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
91	55, 41, 90	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
92	40, 55	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
95	94	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ≤ (𝑏 + 1))
96		lermy 37522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
97	48, 50, 51, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
98	95, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
99	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101	98, 85, 100	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1))
102	89, 91, 92, 101	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) ≤ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
103	40	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
104	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℂ)
105	99, 103, 104	subdid 10486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
106	99, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
108	105, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
109		rmyluc2 37503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
110	48, 51, 109	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
111	102, 108, 110	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
112	111	3adant3 1081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
113	47, 57, 62, 80, 112	letrd 10194	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
114	113	3exp 1264	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115	114	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
116	5, 10, 15, 20, 35, 115	nn0ind 11472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117	116	impcom 446	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ↑cexp 12860   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  37584