Theorem extwwlkfablem1 27207

Description: Lemma 1 for extwwlkfab 27223. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Proof shortened by AV, 29-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfablem1	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))

Proof of Theorem extwwlkfablem1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4268	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
2	1	3ad2ant3 1084	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
3		prcom 4267	. . . 4 ⊢ {(𝑊‘0), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)}
4	2, 3	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)})
5		1e2m1 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (2 − 1)
6	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
7		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
8		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
9		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	subsubd 10420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
11	6, 10	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	12	preq2d 4275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))})
15		ige2m2fzo 12530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
18	16, 17	clwwlknp 26887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	simp2d 1074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)))
23	20, 22	preq12d 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))})
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	rspcva 3307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
26	15, 19, 25	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27	14, 26	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
28	27	adantll 750	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
29	28	3adant3 1081	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 2)), (𝑊‘(𝑁 − 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
30	4, 29	eqeltrrd 2702	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
31	17	nbusgreledg 26249	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	31	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	32	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)) ↔ {(𝑊‘(𝑁 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
34	30, 33	mpbird 247	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  2c2 11070  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  extwwlkfab  27223