Theorem hauspwdom 21304

Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 21303 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hauspwdom	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	hausmapdom 21303	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ))
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ))
4		simprr 796	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5		1nn 11031	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		noel 3919	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ ∅
7		eleq2 2690	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
8	6, 7	mtbiri 317	. . . . . 6 ⊢ (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
10	5, 9	mt2 191	. . . 4 ⊢ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11		mapdom2 8131	. . . 4 ⊢ ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
12	4, 10, 11	sylancl 694	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
13		sdomdom 7983	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 2𝑜 → 𝐴 ≼ 2𝑜)
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 𝐴 ≼ 2𝑜)
15		mapdom1 8125	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 2𝑜 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
17		reldom 7961	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
18	17	brrelex2i 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
19	18	ad2antll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20		pw2eng 8066	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
21		ensym 8005	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domentr 8015	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25	16, 23, 24	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26		onfin2 8152	. . . . . . . . 9 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
27		inss2 3834	. . . . . . . . 9 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
28	26, 27	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ Fin
29		2onn 7720	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
30	28, 29	sselii 3600	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
31		simprl 794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
32	17	brrelexi 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34		fidomtri 8819	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
35	30, 33, 34	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
36	35	biimpar 502	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
37		numth3 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40		nnenom 12779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
41	40	ensymi 8006	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
42		endomtr 8014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
43	41, 4, 42	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
46	31	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47		mappwen 8935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2𝑜 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
48	39, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49		endom 7982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
51	36, 50	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
52	25, 51	pm2.61dan 832	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53		domtr 8009	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
54	12, 52, 53	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55		domtr 8009	. 2 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
56	3, 54, 55	syl2anc 693	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  Oncon0 5723  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065  2_𝑜c2o 7554   ↑_𝑚 cmap 7857   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954  Fincfn 7955  cardccrd 8761  1c1 9937  ℕcn 11020  clsccl 20822  Hauscha 21112  1^st𝜔c1stc 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lm 21033  df-haus 21119  df-1stc 21242

This theorem is referenced by: (None)