Theorem fmtno5lem2 41466

Description: Lemma 2 for fmtno5 41469. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5lem2	⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680

Proof of Theorem fmtno5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 11312	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		6nn0 11313	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	2, 1	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
4	3, 1	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
5		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 11512	. 2 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
7		eqid 2622	. 2 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
8		0nn0 11307	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		2nn0 11309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	5, 9	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
11		7nn0 11314	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	10, 11	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;327 ∈ ℕ0
13	12, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;3276 ∈ ℕ0
14		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
15		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		5p1e6 11155	. . . . 5 ⊢ (5 + 1) = 6
17		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;655 = ;;655
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 = ;65
19		6t5e30 11644	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 5) = ;30
20		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
21	20	addid2i 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
22	5, 8, 9, 19, 21	decaddi 11579	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 · 5) + 2) = ;32
23		5t5e25 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
24	1, 2, 1, 18, 1, 9, 22, 23	decmul1c 11587	. . . . . . 7 ⊢ (;65 · 5) = ;;325
25		5p2e7 11165	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
26	10, 1, 9, 24, 25	decaddi 11579	. . . . . 6 ⊢ ((;65 · 5) + 2) = ;;327
27	1, 3, 1, 17, 1, 9, 26, 23	decmul1c 11587	. . . . 5 ⊢ (;;655 · 5) = ;;;3275
28	12, 1, 16, 27	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((;;655 · 5) + 1) = ;;;3276
29		5cn 11100	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		3cn 11095	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31		5t3e15 11635	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
32	29, 30, 31	mulcomli 10047	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
33	1, 4, 5, 14, 1, 15, 28, 32	decmul1c 11587	. . 3 ⊢ (;;;6553 · 5) = ;;;;32765
34		5p3e8 11166	. . 3 ⊢ (5 + 3) = 8
35	13, 1, 5, 33, 34	decaddi 11579	. 2 ⊢ ((;;;6553 · 5) + 3) = ;;;;32768
36	1, 6, 2, 7, 8, 5, 35, 19	decmul1c 11587	1 ⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  ;cdc 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494

This theorem is referenced by:  fmtno5lem4  41468