Theorem fmtno5lem4 41468

Description: Lemma 4 for fmtno5 41469. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5lem4	⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296

Proof of Theorem fmtno5lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 11313	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		5nn0 11312	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
4	3, 2	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
5		3nn0 11310	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
7	6, 1	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11304	. . 3 ⊢ ;;;;65536 ∈ ℂ
9	8	sqvali 12943	. 2 ⊢ (;;;;65536↑2) = (;;;;65536 · ;;;;65536)
10		fmtno5lem1 41465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;65536 · 6) = ;;;;;393216
11	10	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;393216 = (;;;;65536 · 6)
12		fmtno5lem2 41466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680
13	12	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;327680 = (;;;;65536 · 5)
14	1, 2, 7, 11, 13	decmul10add 11593	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;65536 · ;65) = (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)
15	14	eqcomi 2631	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680) = (;;;;65536 · ;65)
16	3, 2, 7, 15, 13	decmul10add 11593	. . . . . 6 ⊢ (;;;;65536 · ;;655) = (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)
17	16	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680) = (;;;;65536 · ;;655)
18		fmtno5lem3 41467	. . . . . 6 ⊢ (;;;;65536 · 3) = ;;;;;196608
19	18	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ;;;;;196608 = (;;;;65536 · 3)
20	4, 5, 7, 17, 19	decmul10add 11593	. . . 4 ⊢ (;;;;65536 · ;;;6553) = (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)
21	20	eqcomi 2631	. . 3 ⊢ (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608) = (;;;;65536 · ;;;6553)
22	6, 1, 7, 21, 11	decmul10add 11593	. 2 ⊢ (;;;;65536 · ;;;;65536) = (;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 + ;;;;;393216)
23		4nn0 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
24		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	23, 24	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
26		9nn0 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
27	25, 26	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
28	27, 23	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
29	28, 2	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42945 ∈ ℕ0
30		7nn0 11314	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429457 ∈ ℕ0
32	31, 23	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294574 ∈ ℕ0
33		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	32, 33	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42945740 ∈ ℕ0
35		8nn0 11315	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
36	34, 35	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429457408 ∈ ℕ0
37	5, 26	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;39 ∈ ℕ0
38	37, 5	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;393 ∈ ℕ0
39	38, 24	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;3932 ∈ ℕ0
40		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
41	39, 40	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;;39321 ∈ ℕ0
42	27, 24	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;4292 ∈ ℕ0
43	42, 1	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;42926 ∈ ℕ0
44	43, 33	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;429260 ∈ ℕ0
45	44, 35	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;;4292608 ∈ ℕ0
46	45, 33	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42926080 ∈ ℕ0
47	40, 26	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
48	47, 1	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;196 ∈ ℕ0
49	48, 1	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;1966 ∈ ℕ0
50	49, 33	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;;19660 ∈ ℕ0
51	25, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;425 ∈ ℕ0
52	51, 26	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4259 ∈ ℕ0
53	52, 35	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42598 ∈ ℕ0
54	53, 23	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;425984 ∈ ℕ0
55	54, 33	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4259840 ∈ ℕ0
56	5, 24	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
57	56, 30	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;327 ∈ ℕ0
58	57, 1	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;3276 ∈ ℕ0
59	58, 35	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;32768 ∈ ℕ0
60	41, 1	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;393216 ∈ ℕ0
61		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;;3932160 = ;;;;;;3932160
62		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;327680 = ;;;;;327680
63		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;;393216 = ;;;;;393216
64		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;32768 = ;;;;32768
65		7p1e8 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + 1) = 8
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;;39321 = ;;;;39321
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;3276 = ;;;3276
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;3932 = ;;;3932
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;327 = ;;327
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;393 = ;;393
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;32 = ;32
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;39 = ;39
73		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 1) = 4
74		9p3e12 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 + 3) = ;12
75	5, 26, 5, 72, 73, 24, 74	decaddci 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;39 + 3) = ;42
76		3p2e5 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 2) = 5
77	37, 5, 5, 24, 70, 71, 75, 76	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;393 + ;32) = ;;425
78		7cn 11104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
79		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
80		7p2e9 11172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 2) = 9
81	78, 79, 80	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 7) = 9
82	38, 24, 56, 30, 68, 69, 77, 81	decadd 11570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;3932 + ;;327) = ;;;4259
83		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
84		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
85		6p1e7 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 1) = 7
86	83, 84, 85	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 6) = 7
87	39, 40, 57, 1, 66, 67, 82, 86	decadd 11570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;;39321 + ;;;3276) = ;;;;42597
88	52, 30, 65, 87	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;;;39321 + ;;;3276) + 1) = ;;;;42598
89		8cn 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
90		8p6e14 11616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 6) = ;14
91	89, 83, 90	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 8) = ;14
92	41, 1, 58, 35, 63, 64, 88, 23, 91	decaddc 11572	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;;;393216 + ;;;;32768) = ;;;;;425984
93		00id 10211	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
94	60, 33, 59, 33, 61, 62, 92, 93	decadd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680) = ;;;;;;4259840
95	94	deceq1i 11504	. . . . . . 7 ⊢ ;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 = ;;;;;;;42598400
96		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;;4259840 = ;;;;;;4259840
97		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;425984 = ;;;;;425984
98		5p1e6 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 1) = 6
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;;42598 = ;;;;42598
100		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
101		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;4259 = ;;;4259
102		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 + 1) = 9
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;425 = ;;425
104		5p3e8 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 3) = 8
105	25, 2, 5, 103, 104	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;;425 + 3) = ;;428
106	25, 35, 102, 105	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;425 + 3) + 1) = ;;429
107		9p2e11 11619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 2) = ;11
108	51, 26, 5, 24, 101, 71, 106, 40, 107	decaddc 11572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;4259 + ;32) = ;;;4291
109	27, 40, 100, 108	decsuc 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;;4259 + ;32) + 1) = ;;;4292
110		8p7e15 11617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 7) = ;15
111	52, 35, 56, 30, 99, 69, 109, 2, 110	decaddc 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;42598 + ;;327) = ;;;;42925
112	42, 2, 98, 111	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;;42598 + ;;327) + 1) = ;;;;42926
113		4cn 11098	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
114		6p4e10 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
115	83, 113, 114	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 6) = ;10
116	53, 23, 57, 1, 97, 67, 112, 33, 115	decaddc 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;;425984 + ;;;3276) = ;;;;;429260
117	89	addid2i 10224	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 8) = 8
118	54, 33, 58, 35, 96, 64, 116, 117	decadd 11570	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;4259840 + ;;;;32768) = ;;;;;;4292608
119	55, 33, 59, 33, 95, 62, 118, 93	decadd 11570	. . . . . 6 ⊢ (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680) = ;;;;;;;42926080
120	119	deceq1i 11504	. . . . 5 ⊢ ;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 = ;;;;;;;;429260800
121		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;;196608 = ;;;;;196608
122	45, 49	decaddm10 11578	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;;42926080 + ;;;;19660) = ;(;;;;;;4292608 + ;;;1966)0
123		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;;4292608 = ;;;;;;4292608
124		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;1966 = ;;;1966
125		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;;429260 = ;;;;;429260
126		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;196 = ;;196
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;;42926 = ;;;;42926
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;19 = ;19
129		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;4292 = ;;;4292
131	27, 24, 129, 130	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;4292 + 1) = ;;;4293
132	27, 5, 73, 131	decsuc 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;;4292 + 1) + 1) = ;;;4294
133		9cn 11108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
134		9p6e15 11624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 6) = ;15
135	133, 83, 134	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 9) = ;15
136	42, 1, 40, 26, 127, 128, 132, 2, 135	decaddc 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;42926 + ;19) = ;;;;42945
137	83	addid2i 10224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 6) = 6
138	43, 33, 47, 1, 125, 126, 136, 137	decadd 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;;;429260 + ;;196) = ;;;;;429456
139	29, 1, 85, 138	decsuc 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;;429260 + ;;196) + 1) = ;;;;;429457
140	44, 35, 48, 1, 123, 124, 139, 23, 90	decaddc 11572	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;4292608 + ;;;1966) = ;;;;;;4294574
141	140	deceq1i 11504	. . . . . 6 ⊢ ;(;;;;;;4292608 + ;;;1966)0 = ;;;;;;;42945740
142	122, 141	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (;;;;;;;42926080 + ;;;;19660) = ;;;;;;;42945740
143	46, 33, 50, 35, 120, 121, 142, 117	decadd 11570	. . . 4 ⊢ (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608) = ;;;;;;;;429457408
144	143	deceq1i 11504	. . 3 ⊢ ;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 = ;;;;;;;;;4294574080
145		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;429457408 = ;;;;;;;;429457408
146		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42945740 = ;;;;;;;42945740
147		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;;4294574 = ;;;;;;4294574
148		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;429457 = ;;;;;429457
149		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42945 = ;;;;42945
150	28, 2, 5, 149, 104	decaddi 11579	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42945 + 3) = ;;;;42948
151	28, 35, 102, 150	decsuc 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((;;;;42945 + 3) + 1) = ;;;;42949
152		9p7e16 11625	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 7) = ;16
153	133, 78, 152	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 9) = ;16
154	29, 30, 5, 26, 148, 72, 151, 1, 153	decaddc 11572	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;429457 + ;39) = ;;;;;429496
155		4p3e7 11163	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
156	31, 23, 37, 5, 147, 70, 154, 155	decadd 11570	. . . . 5 ⊢ (;;;;;;4294574 + ;;393) = ;;;;;;4294967
157	79	addid2i 10224	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
158	32, 33, 38, 24, 146, 68, 156, 157	decadd 11570	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42945740 + ;;;3932) = ;;;;;;;42949672
159	34, 35, 39, 40, 145, 66, 158, 102	decadd 11570	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;429457408 + ;;;;39321) = ;;;;;;;;429496729
160	36, 33, 41, 1, 144, 63, 159, 137	decadd 11570	. 2 ⊢ (;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 + ;;;;;393216) = ;;;;;;;;;4294967296
161	9, 22, 160	3eqtri 2648	1 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  fmtno5  41469