Theorem fovrnd 6806

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 6804	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   × cxp 5112  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  eroveu  7842  fseqenlem1  8847  rlimcn2  14321  homarel  16686  curf1cl  16868  curf2cl  16871  hofcllem  16898  yonedalem3b  16919  gasubg  17735  gacan  17738  gapm  17739  gastacos  17743  orbsta  17746  galactghm  17823  sylow1lem2  18014  sylow2alem2  18033  sylow3lem1  18042  efgcpbllemb  18168  frgpuplem  18185  frlmbas3  20115  mamucl  20207  mamuass  20208  mamudi  20209  mamudir  20210  mamuvs1  20211  mamuvs2  20212  mamulid  20247  mamurid  20248  mamutpos  20264  matgsumcl  20266  mavmulcl  20353  mavmulass  20355  mdetleib2  20394  mdetf  20401  mdetdiaglem  20404  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424  maducoeval2  20446  madugsum  20449  madurid  20450  tsmsxplem2  21957  isxmet2d  22132  ismet2  22138  prdsxmetlem  22173  comet  22318  ipcn  23045  ovoliunlem2  23271  itg1addlem4  23466  itg1addlem5  23467  mbfi1fseqlem5  23486  limccnp2  23656  midcl  25669  pstmxmet  29940  cvmlift2lem9  31293  isbnd3  33583  prdsbnd  33592  iscringd  33797  rmxycomplete  37482  rmxyadd  37486