Theorem tsmsxplem2 21957

Description: Lemma for tsmsxp 21958. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
tsmsxp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
tsmsxp.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsxp.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑗) ∈ (𝐺 tsums (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
tsmsxp.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsxp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsxp.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmsxp.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐽)
tsmsxp.3	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐿)
tsmsxp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
tsmsxp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
tsmsxp.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (𝐾 × 𝑁))
tsmsxp.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tsmsxplem2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥,𝐺   𝐵,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑔,𝐿,𝑗,𝑥   𝐴,𝑔,𝑗,𝑘   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑   − ,𝑑,𝑔,𝑗,𝑥   𝐶,𝑔,𝑗,𝑘   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (𝑥,𝑗,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘)   𝐻(𝑐)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐿(𝑘,𝑐,𝑑)   − (𝑘,𝑐)   𝑁(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   0 (𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tsmsxplem2

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsxp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgpgrp 21882	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		tsmsxp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		isabl 18197	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
6	3, 4, 5	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
7		tsmsxp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		tsmsxp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		tsmsxp.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elfpw 8268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Fin))
11	10	simprbi 480	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾 ∈ Fin)
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
13		tsmsxp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
14		elfpw 8268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑁 ∈ Fin))
15	14	simprbi 480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		xpfi 8231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
18	12, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
19		tsmsxp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
20	10	simplbi 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾 ⊆ 𝐴)
21	9, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐴)
22	14	simplbi 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁 ⊆ 𝐶)
23	13, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝐶)
24		xpss12 5225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑁 ⊆ 𝐶) → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
25	21, 23, 24	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
26	19, 25	fssresd 6071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)):(𝐾 × 𝑁)⟶𝐵)
27		tsmsxp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐿)
28	26, 18, 27	fdmfifsupp 8285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)) finSupp 0 )
29	7, 8, 4, 18, 26, 28	gsumcl 18316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵)
30		tsmsxp.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
31	30, 21	fssresd 6071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾):𝐾⟶𝐵)
32	31, 12, 27	fdmfifsupp 8285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾) finSupp 0 )
33	7, 8, 4, 12, 31, 32	gsumcl 18316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝐵)
34		tsmsxp.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
35		tsmsxp.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
36	7, 34, 35	ablpncan3 18222	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)))
37	6, 29, 33, 36	syl12anc 1324	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)))
38		tsmsxp.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
39	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ CMnd)
40		snfi 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
41	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
42		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
43	40, 41, 42	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
44	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
45	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐴)
46	45	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
47	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑁 ⊆ 𝐶)
48		xpss12 5225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑁 ⊆ 𝐶) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
49	46, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
50	44, 49	fssresd 6071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)):({𝑦} × 𝑁)⟶𝐵)
51		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
52	8, 51	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 0 ∈ V)
54	50, 43, 53	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)) finSupp 0 )
55	7, 8, 39, 43, 50, 54	gsumcl 18316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ 𝐵)
56		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
57	55, 56	fmptd 6385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))):𝐾⟶𝐵)
58		ovexd 6680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ V)
59	56, 12, 58, 27	fsuppmptdm 8286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) finSupp 0 )
60	7, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 59	gsumsub 18348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘𝑓 − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
61		fvexd 6203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐻‘𝑦) ∈ V)
62	30, 21	feqresmpt 6250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐻‘𝑦)))
63		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
64	12, 61, 58, 62, 63	offval2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘𝑓 − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))))
65	64	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻 ↾ 𝐾) ∘𝑓 − (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
66		cmnmnd 18208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
67	39, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
68		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
69	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
70	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐴)
71	47	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → 𝑧 ∈ 𝐶)
72	69, 70, 71	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
74	72, 73	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):𝑁⟶𝐵)
75		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
76	73, 41, 75, 53	fsuppmptdm 8286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
77	7, 8, 39, 41, 74, 76	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵)
78		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑦} ↔ 𝑤 = 𝑦)
79		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
80	78, 79	sylanbr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
81		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
83	80, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
84	83	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
86	7, 85	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
87	67, 68, 77, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
88	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → {𝑦} ∈ Fin)
89	7, 8, 39, 88, 41, 50, 54	gsumxp 18375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))))
90		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
91	90	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
92	91	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
94	87, 89, 93	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))
95	94	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)))))
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
97	7, 8, 4, 12, 16, 26, 28	gsumxp 18375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧 ∈ 𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
98	96, 97	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))
99	98	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
100	60, 65, 99	3eqtr3d 2664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
101		tsmsxp.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
103		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
104	103	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ({𝑥} × 𝑁) = ({𝑦} × 𝑁))
105	104	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)) = (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
107	102, 106	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) = ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿))
109	108	rspccva 3308	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐻‘𝑥) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
110	101, 109	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
111		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
112	110, 111	fmptd 6385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾⟶𝐿)
113		tsmsxp.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐽)
114	113, 9	elmapd 7871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾) ↔ (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾⟶𝐿))
115	112, 114	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾))
116		tsmsxp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
117		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → (𝐺 Σg 𝑔) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
118	117	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → ((𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
119	118	rspcv 3305	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾) → (∀𝑔 ∈ (𝐿 ↑𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
120	115, 116, 119	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐻‘𝑦) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
121	100, 120	eqeltrrd 2702	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇)
122		tsmsxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
123		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑))
124	123	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → ((𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈))
125		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))))
126	125	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈))
127	124, 126	rspc2va 3323	. . 3 ⊢ ((((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑑 ∈ 𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
128	38, 121, 122, 127	syl21anc 1325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) − (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
129	37, 128	eqeltrrd 2702	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝐾)) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  TopOpenctopn 16082  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424  CMndccmn 18193  Abelcabl 18194  TopGrpctgp 21875   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  tsmsxp  21958