Theorem fsuppmapnn0fiub 12790

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s	⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)
2		nfra1 2941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑈 ≠ ∅
4	2, 3	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	nfan 1828	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
6		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0))
8		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12	7, 8, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13	12	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
14	6, 13	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
16	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
17	16	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
20	18, 19	fsuppmapnn0fiublem 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
21	20	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
23	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
24	23	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28		nn0ssre 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
29	27, 28	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
30	6, 29	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
32	5, 31	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34		iunss 4561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
36	18, 35	syl5eqss 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → 𝑓 finSupp 𝑍)
39	38	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
40	39	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
42	37, 41	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44		iunfi 8254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
46	18, 45	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47		rspe 3003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
49	47, 48	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
50	49, 18	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
51	50	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
52	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
53	36, 46, 51, 52	supfirege 11009	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
54		elfz2nn0 12431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑆))
55	17, 22, 53, 54	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
56	55	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
57	56	ssrdv 3609	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
58	57	ex 450	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
59	5, 58	ralrimi 2957	. 2 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
60	59	ex 450	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12792