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Theorem fsuppmapnn0fiub 12790
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s |- S = sup ( U , RR , < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
Distinct variable groups:   f, M   R, f   U, f   f, V   f, Z
Allowed substitution hint:   S( f)
Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1843 . . . 4 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
2 nfra1 2941 . . . . 5 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
3 nfv 1843 . . . . 5 |- F/ f U =/= (/)
42, 3nfan 1828 . . . 4 |- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
51, 4nfan 1828 . . 3 |- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
6 suppssdm 7308 . . . . . . . . . . 11 |- ( f supp Z ) C_ dom f
7 ssel2 3598 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
8 elmapfn 7880 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
9 fndm 5990 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
10 eqimss 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 )
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
13123ad2antl1 1223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
146, 13syl5ss 3614 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
1514sseld 3602 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
1615adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
1716imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. NN0 )
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 |- S = sup ( U , RR , < )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12789 . . . . . . . . 9 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )
2120imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
2221ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S e. NN0 )
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
2423ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
25243ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
2726imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
28 nn0ssre 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ RR
2927, 28syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
306, 29syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
3130ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
325, 31ralrimi 2957 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
3332ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
34 iunss 4561 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
3533, 34sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
3618, 35syl5eqss 3649 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U C_ RR )
37 simp2 1062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
3938fsuppimpd 8282 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
4039ralimi 2952 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
4237, 41anim12i 590 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
44 iunfi 8254 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
4618, 45syl5eqel 2705 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U e. Fin )
47 rspe 3003 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
48 eliun 4524 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ f e. M ( f supp Z ) <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
4947, 48sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U_ f e. M ( f supp Z ) )
5049, 18syl6eleqr 2712 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. M /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U )
5150adantll 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U )
5219a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S = sup ( U , RR , < ) )
5336, 46, 51, 52supfirege 11009 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x <_ S )
54 elfz2nn0 12431 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 ... S ) <-> ( x e. NN0 /\ S e. NN0 /\ x <_ S ) )
5517, 22, 53, 54syl3anbrc 1246 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. ( 0 ... S ) )
5655ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. ( 0 ... S ) ) )
5756ssrdv 3609 . . . 4 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
5857ex 450 . . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
595, 58ralrimi 2957 . 2 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
6059ex 450 1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12792
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