Theorem suppssdm 7308

Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppssdm	⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 7297	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2		ssrab2 3687	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
3	1, 2	syl6eqss 3655	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4		supp0prc 7298	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5		0ss 3972	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝐹
6	4, 5	syl6eqss 3655	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
7	3, 6	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  dom cdm 5114   “ cima 5117  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  snopsuppss  7310  wemapso2lem  8457  cantnfcl  8564  cantnfle  8568  cantnflt  8569  cantnff  8571  cantnfres  8574  cantnfp1lem2  8576  cantnfp1lem3  8577  cantnflem1b  8583  cantnflem1d  8585  cantnflem1  8586  cantnflem3  8588  cnfcomlem  8596  cnfcom  8597  cnfcom2lem  8598  cnfcom3lem  8600  cnfcom3  8601  fsuppmapnn0fiublem  12789  fsuppmapnn0fiub  12790  fsuppmapnn0fiubOLD  12791  gsumval3lem1  18306  gsumval3lem2  18307  gsumval3  18308  gsumzres  18310  gsumzcl2  18311  gsumzf1o  18313  gsumzaddlem  18321  gsumconst  18334  gsumzoppg  18344  gsum2d  18371  dpjidcl  18457  psrass1lem  19377  psrass1  19405  psrass23l  19408  psrcom  19409  psrass23  19410  mplcoe1  19465  psropprmul  19608  coe1mul2  19639  gsumfsum  19813  regsumsupp  19968  frlmlbs  20136  tsmsgsum  21942  rrxcph  23180  rrxsuppss  23186  rrxmval  23188  mdegfval  23822  mdegleb  23824  mdegldg  23826  deg1mul3le  23876  wilthlem3  24796  fdivmpt  42334  fdivmptf  42335  refdivmptf  42336  fdivpm  42337  refdivpm  42338