Proof of Theorem sqwvfoura
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pire 24210 |
. . . . . 6
⊢ π
∈ ℝ |
2 | 1 | renegcli 10342 |
. . . . 5
⊢ -π
∈ ℝ |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -π ∈
ℝ) |
4 | 1 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → π ∈
ℝ) |
5 | | 0re 10040 |
. . . . . 6
⊢ 0 ∈
ℝ |
6 | | negpilt0 39492 |
. . . . . . 7
⊢ -π
< 0 |
7 | 2, 5, 6 | ltleii 10160 |
. . . . . 6
⊢ -π
≤ 0 |
8 | | pipos 24212 |
. . . . . . 7
⊢ 0 <
π |
9 | 5, 1, 8 | ltleii 10160 |
. . . . . 6
⊢ 0 ≤
π |
10 | 2, 1 | elicc2i 12239 |
. . . . . 6
⊢ (0 ∈
(-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤
π)) |
11 | 5, 7, 9, 10 | mpbir3an 1244 |
. . . . 5
⊢ 0 ∈
(-π[,]π) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(-π[,]π)) |
13 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈
ℝ) |
14 | 13 | renegcld 10457 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈
ℝ) |
15 | 13, 14 | ifcld 4131 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
16 | 15 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
17 | | sqwvfoura.f |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
18 | 16, 17 | fmptd 6385 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
19 | 18 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
20 | | elioore 12205 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) →
𝑥 ∈
ℝ) |
21 | 20 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
22 | 19, 21 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
23 | | sqwvfoura.n |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
24 | 23 | nn0red 11352 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈
ℝ) |
26 | 25, 21 | remulcld 10070 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
27 | 26 | recoscld 14874 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) →
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)) ∈
ℝ) |
28 | 22, 27 | remulcld 10070 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ) |
29 | 28 | recnd 10068 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ) |
30 | | elioore 12205 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
31 | 30, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
32 | 17 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) →
(𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
33 | 30, 31, 32 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
34 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
∈ ℝ) |
35 | | sqwvfoura.t |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑇 = (2 ·
π) |
36 | | 2rp 11837 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
37 | | pirp 24213 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π
∈ ℝ+ |
38 | | rpmulcl 11855 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2
· π) ∈ ℝ+) |
39 | 36, 37, 38 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2
· π) ∈ ℝ+ |
40 | 35, 39 | eqeltri 2697 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑇 ∈
ℝ+ |
41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
42 | 30, 41 | modcld 12674 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
43 | | picn 24211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ π
∈ ℂ |
44 | 43 | 2timesi 11147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· π) = (π + π) |
45 | 35, 44 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 = (π +
π) |
46 | 45 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (-π +
𝑇) = (-π + (π +
π)) |
47 | 2 | recni 10052 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -π
∈ ℂ |
48 | 47, 43, 43 | addassi 10048 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-π +
π) + π) = (-π + (π + π)) |
49 | 43 | negidi 10350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (π +
-π) = 0 |
50 | 43, 47, 49 | addcomli 10228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (-π +
π) = 0 |
51 | 50 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π +
π) + π) = (0 + π) |
52 | 43 | addid2i 10224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0 +
π) = π |
53 | 51, 52 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-π +
π) + π) = π |
54 | 46, 48, 53 | 3eqtr2ri 2651 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ π =
(-π + 𝑇) |
55 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
∈ ℝ) |
56 | | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
57 | 56, 1 | remulcli 10054 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· π) ∈ ℝ |
58 | 35, 57 | eqeltri 2697 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 ∈ ℝ |
59 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ) |
60 | 2 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -π
∈ ℝ* |
61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
∈ ℝ*) |
62 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
∈ ℝ) |
63 | 62 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
∈ ℝ*) |
64 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
(-π(,)0)) |
65 | | ioogtlb 39717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) →
-π < 𝑥) |
66 | 61, 63, 64, 65 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
< 𝑥) |
67 | 55, 30, 59, 66 | ltadd1dd 10638 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇)) |
68 | 54, 67 | syl5eqbr 4688 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
< (𝑥 + 𝑇)) |
69 | 58 | recni 10052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝑇 ∈ ℂ |
70 | 69 | mulid2i 10043 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
· 𝑇) = 𝑇 |
71 | 70 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇) |
72 | 71 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇)) |
73 | 72 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) |
74 | 30, 59 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
75 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< π) |
76 | 62, 34, 74, 75, 68 | lttrd 10198 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< (𝑥 + 𝑇)) |
77 | 62, 74, 76 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
≤ (𝑥 + 𝑇)) |
78 | | iooltub 39735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) →
𝑥 < 0) |
79 | 61, 63, 64, 78 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0) |
80 | 30, 62, 59, 79 | ltadd1dd 10638 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇)) |
81 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℂ) |
82 | 81 | addid2d 10237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 +
𝑇) = 𝑇) |
83 | 80, 82 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) < 𝑇) |
84 | | modid 12695 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇)) |
85 | 74, 41, 77, 83, 84 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇)) |
86 | | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1
∈ ℤ) |
87 | | modcyc 12705 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
88 | 30, 41, 86, 87 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
89 | 73, 85, 88 | 3eqtr3a 2680 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
90 | 68, 89 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
< (𝑥 mod 𝑇)) |
91 | 34, 42, 90 | ltnsymd 10186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬
(𝑥 mod 𝑇) < π) |
92 | 91 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
93 | 33, 92 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝐹‘𝑥) = -1) |
94 | 93 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
95 | 94 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
96 | 95 | mpteq2dva 4744 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))))) |
97 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
98 | 97 | negcld 10379 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
99 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
100 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
101 | 99, 100 | remulcld 10070 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
102 | 101 | recoscld 14874 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
103 | | ioossicc 12259 |
. . . . . . . 8
⊢
(-π(,)0) ⊆ (-π[,]0) |
104 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆
(-π[,]0)) |
105 | | ioombl 23333 |
. . . . . . . 8
⊢
(-π(,)0) ∈ dom vol |
106 | 105 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom
vol) |
107 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
108 | | iccssre 12255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆
ℝ) |
109 | 2, 5, 108 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(-π[,]0) ⊆ ℝ |
110 | 109 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
111 | 110 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈
ℝ) |
112 | 107, 111 | remulcld 10070 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
113 | 112 | recoscld 14874 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
114 | | 0red 10041 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
115 | | coscn 24199 |
. . . . . . . . . 10
⊢ cos
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → cos ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
117 | | ax-resscn 9993 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
118 | 109, 117 | sstri 3612 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(-π[,]0) ⊆ ℂ |
119 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆
ℂ) |
120 | 24 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
121 | | ssid 3624 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
123 | 119, 120,
122 | constcncfg 40084 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
124 | 119, 122 | idcncfg 40085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈
((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
125 | 123, 124 | mulcncf 23215 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
126 | 116, 125 | cncfmpt1f 22716 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) |
127 | | cniccibl 23607 |
. . . . . . . 8
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
128 | 3, 114, 126, 127 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
129 | 104, 106,
113, 128 | iblss 23571 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
130 | 98, 102, 129 | iblmulc2 23597 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)))) ∈
𝐿1) |
131 | 96, 130 | eqeltrd 2701 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) |
132 | | elioore 12205 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
ℝ) |
133 | 132, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
134 | 132, 133,
32 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
135 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
136 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0
∈ ℝ) |
137 | 136 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0
∈ ℝ*) |
138 | 1 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π
∈ ℝ* |
139 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
∈ ℝ*) |
140 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
(0(,)π)) |
141 | | ioogtlb 39717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0
< 𝑥) |
142 | 137, 139,
140, 141 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 <
𝑥) |
143 | 136, 132,
142 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤
𝑥) |
144 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
∈ ℝ) |
145 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ) |
146 | | iooltub 39735 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π) |
147 | 137, 139,
140, 146 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π) |
148 | | 2timesgt 39500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (π
∈ ℝ+ → π < (2 · π)) |
149 | 37, 148 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ π <
(2 · π) |
150 | 149, 35 | breqtrri 4680 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ π <
𝑇 |
151 | 150 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
< 𝑇) |
152 | 132, 144,
145, 147, 151 | lttrd 10198 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇) |
153 | | modid 12695 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
154 | 132, 135,
143, 152, 153 | syl22anc 1327 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
155 | 154, 147 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
156 | 155 | iftrued 4094 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
157 | 134, 156 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1) |
158 | 157 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
159 | 158 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) |
160 | 159 | mpteq2dva 4744 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))))) |
161 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
162 | 132 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
163 | 161, 162 | remulcld 10070 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
164 | 163 | recoscld 14874 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
165 | | ioossicc 12259 |
. . . . . . . 8
⊢
(0(,)π) ⊆ (0[,]π) |
166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆
(0[,]π)) |
167 | | ioombl 23333 |
. . . . . . . 8
⊢
(0(,)π) ∈ dom vol |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom
vol) |
169 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
170 | | iccssre 12255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆
ℝ) |
171 | 5, 1, 170 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,]π) ⊆ ℝ |
172 | 171 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈
ℝ) |
173 | 172 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
174 | 169, 173 | remulcld 10070 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ) |
175 | 174 | recoscld 14874 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
176 | 171, 117 | sstri 3612 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(0[,]π) ⊆ ℂ |
177 | 176 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆
ℂ) |
178 | 177, 120,
122 | constcncfg 40084 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
179 | 177, 122 | idcncfg 40085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
180 | 178, 179 | mulcncf 23215 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
181 | 116, 180 | cncfmpt1f 22716 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) |
182 | | cniccibl 23607 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
183 | 114, 4, 181, 182 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
184 | 166, 168,
175, 183 | iblss 23571 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈
𝐿1) |
185 | 97, 164, 184 | iblmulc2 23597 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥)))) ∈
𝐿1) |
186 | 160, 185 | eqeltrd 2701 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈
𝐿1) |
187 | 3, 4, 12, 29, 131, 186 | itgsplitioo 23604 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)) |
188 | 187 | oveq1d 6665 |
. 2
⊢ (𝜑 →
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π)) |
189 | 95 | itgeq2dv 23548 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
190 | 98, 102, 129 | itgmulc2 23600 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
191 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) |
192 | | ioosscn 39716 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(-π(,)0) ⊆ ℂ |
193 | 192 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℂ) |
194 | 193 | mul02d 10234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0
· 𝑥) =
0) |
195 | 191, 194 | sylan9eq 2676 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0) |
196 | 195 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0)) |
197 | | cos0 14880 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(cos‘0) = 1 |
198 | 196, 197 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
199 | 198 | adantll 750 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
200 | 199 | itgeq2dv 23548 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥) |
201 | | ioovolcl 23338 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈
ℝ) |
202 | 2, 5, 201 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ |
203 | 202 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0))
∈ ℝ) |
204 | | itgconst 23585 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈
ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
205 | 106, 203,
97, 204 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
206 | 205 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(-π(,)0)))) |
207 | | volioo 23337 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) →
(vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)) |
208 | 2, 5, 7, 207 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π) |
209 | | 0cn 10032 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℂ |
210 | 209, 43 | subnegi 10360 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0
− -π) = (0 + π) |
211 | 208, 210,
52 | 3eqtri 2648 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(vol‘(-π(,)0)) = π |
212 | 211 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) =
π) |
213 | 212 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = (1 · π)) |
214 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → π ∈
ℂ) |
215 | 214 | mulid2d 10058 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 · π) =
π) |
216 | 213, 215 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = π) |
217 | 216 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 ·
(vol‘(-π(,)0))) = π) |
218 | 200, 206,
217 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π) |
219 | 218 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π)) |
220 | 43 | mulm1i 10475 |
. . . . . . . 8
⊢ (-1
· π) = -π |
221 | 220 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 · π) =
-π) |
222 | | iftrue 4092 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π) |
223 | 222 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π,
0)) |
224 | 223 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
225 | 219, 221,
224 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
226 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
227 | 23 | nn0ge0d 11354 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
228 | 227 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁) |
229 | | neqne 2802 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0) |
230 | 229 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0) |
231 | 226, 228,
230 | ne0gt0d 10174 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁) |
232 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ) |
233 | 232 | negcld 10379 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ) |
234 | 233 | mul01d 10235 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) =
0) |
235 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ) |
236 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈
ℝ) |
237 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ) |
238 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0) |
239 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁) |
240 | 239 | gt0ne0d 10592 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0) |
241 | 235, 236,
237, 238, 240 | itgcoscmulx 40185 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁)) |
242 | 120 | mul01d 10235 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0) |
243 | 242 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) =
(sin‘0)) |
244 | | sin0 14879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(sin‘0) = 0 |
245 | 243, 244 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) =
0) |
246 | 120, 214 | mulneg2d 10484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π)) |
247 | 246 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) =
(sin‘-(𝑁 ·
π))) |
248 | 120, 214 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑁 · π) ∈
ℂ) |
249 | | sinneg 14876 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 · π) ∈ ℂ
→ (sin‘-(𝑁
· π)) = -(sin‘(𝑁 · π))) |
250 | 248, 249 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) =
-(sin‘(𝑁 ·
π))) |
251 | 247, 250 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) =
-(sin‘(𝑁 ·
π))) |
252 | 245, 251 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) −
(sin‘(𝑁 ·
-π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π)))) |
253 | | 0cnd 10033 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℂ) |
254 | 248 | sincld 14860 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈
ℂ) |
255 | 253, 254 | subnegd 10399 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 −
-(sin‘(𝑁 ·
π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π)))) |
256 | 254 | addid2d 10237 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) =
(sin‘(𝑁 ·
π))) |
257 | 252, 255,
256 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) −
(sin‘(𝑁 ·
-π))) = (sin‘(𝑁
· π))) |
258 | 257 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) =
(sin‘(𝑁 ·
π))) |
259 | 258 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁)) |
260 | 23 | nn0zd 11480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
261 | | sinkpi 24271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(sin‘(𝑁 ·
π)) = 0) |
262 | 260, 261 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) =
0) |
263 | 262 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
264 | 263 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
265 | 235, 240 | div0d 10800 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0) |
266 | 264, 265 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0) |
267 | 241, 259,
266 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0) |
268 | 267 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0)) |
269 | 240 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0) |
270 | 269 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0) |
271 | 234, 268,
270 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
272 | 231, 271 | syldan 487 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
273 | 225, 272 | pm2.61dan 832 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1 ·
∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
274 | 189, 190,
273 | 3eqtr2d 2662 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0)) |
275 | 159 | itgeq2dv 23548 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
276 | 97, 164, 184 | itgmulc2 23600 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 ·
(cos‘(𝑁 ·
𝑥))) d𝑥) |
277 | 164, 184 | itgcl 23550 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ) |
278 | 277 | mulid2d 10058 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) |
279 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0) |
280 | 279 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) |
281 | 132 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
ℂ) |
282 | 281 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
283 | 282 | mul02d 10234 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0) |
284 | 280, 283 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0) |
285 | 284 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0)) |
286 | 285, 197 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
287 | 286 | adantll 750 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1) |
288 | 287 | itgeq2dv 23548 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥) |
289 | | ioovolcl 23338 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈
ℝ) |
290 | 5, 1, 289 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ |
291 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
ℂ |
292 | | itgconst 23585 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(0(,)π)))) |
293 | 167, 290,
291, 292 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . 9
⊢
∫(0(,)π)1 d𝑥
= (1 · (vol‘(0(,)π))) |
294 | 293 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 ·
(vol‘(0(,)π)))) |
295 | 43 | mulid2i 10043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (1
· π) = π |
296 | | volioo 23337 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) →
(vol‘(0(,)π)) = (π − 0)) |
297 | 5, 1, 9, 296 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(vol‘(0(,)π)) = (π − 0) |
298 | 43 | subid1i 10353 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (π
− 0) = π |
299 | 297, 298 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(vol‘(0(,)π)) = π |
300 | 299 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
· (vol‘(0(,)π))) = (1 · π) |
301 | 300 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = (1 · π)) |
302 | | iftrue 4092 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π) |
303 | 295, 301,
302 | 3eqtr4a 2682 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
304 | 303 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (1 ·
(vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
305 | 288, 294,
304 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
306 | 262, 245 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
= (0 − 0)) |
307 | 253 | subidd 10380 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 − 0) =
0) |
308 | 306, 307 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
= 0) |
309 | 308 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) −
(sin‘(𝑁 · 0)))
/ 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
310 | 309 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁)) |
311 | 310, 265 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0) |
312 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈
ℝ) |
313 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π) |
314 | 235, 237,
312, 313, 240 | itgcoscmulx 40185 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁)) |
315 | 269 | iffalsed 4097 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0) |
316 | 311, 314,
315 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
317 | 231, 316 | syldan 487 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
318 | 305, 317 | pm2.61dan 832 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
319 | 278, 318 | eqtrd 2656 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 ·
∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
320 | 275, 276,
319 | 3eqtr2d 2662 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0)) |
321 | 274, 320 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0))) |
322 | 321 | oveq1d 6665 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π)) |
323 | 222, 302 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π +
π)) |
324 | 323, 50 | syl6eq 2672 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0) |
325 | | iffalse 4095 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) =
0) |
326 | | iffalse 4095 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) =
0) |
327 | 325, 326 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 +
0)) |
328 | | 00id 10211 |
. . . . . . 7
⊢ (0 + 0) =
0 |
329 | 327, 328 | syl6eq 2672 |
. . . . . 6
⊢ (¬
𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0) |
330 | 324, 329 | pm2.61i 176 |
. . . . 5
⊢ (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) =
0 |
331 | 330 | oveq1i 6660 |
. . . 4
⊢
((if(𝑁 = 0, -π,
0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) /
π) = (0 / π) |
332 | 5, 8 | gtneii 10149 |
. . . . 5
⊢ π ≠
0 |
333 | 43, 332 | div0i 10759 |
. . . 4
⊢ (0 /
π) = 0 |
334 | 331, 333 | eqtri 2644 |
. . 3
⊢
((if(𝑁 = 0, -π,
0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) /
π) = 0 |
335 | 334 | a1i 11 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) =
0) |
336 | 188, 322,
335 | 3eqtrd 2660 |
1
⊢ (𝜑 →
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0) |