Theorem hgt750lemd 30726

Description: An upper bound to the summatory function of the von Mangoldt function on non-primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750lemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemd.0	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemd	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Proof of Theorem hgt750lemd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		diffi 8192	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4		vmaf 24845	. . . . . 6 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
6		fz1ssnn 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
8	7	ssdifssd 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelrnd 6360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
11	3, 10	fsumrecl 14465	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
12		2rp 11837	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14	13	relogcld 24369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
15		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		4re 11097	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
17		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		6re 11101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
19	18, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
20		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((6 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → _62 ∈ ℝ)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _62 ∈ ℝ
22	17, 21	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ)
23		dp2cl 29587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ _62 ∈ ℝ) → _2_62 ∈ ℝ)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _2_62 ∈ ℝ
25	16, 24	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ)
26		dp2cl 29587	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ _2_62 ∈ ℝ) → _4_2_62 ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _4_2_62 ∈ ℝ
28		dpcl 29598	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ _4_2_62 ∈ ℝ) → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
29	15, 27, 28	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (1._4_2_62) ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℝ)
31		hgt750lemc.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
33	31	nnrpd 11870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
34	33	rpge0d 11876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
35	32, 34	resqrtcld 14156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
36	30, 35	remulcld 10070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
37		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
38		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
41		dp2cl 29587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → _01 ∈ ℝ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ _01 ∈ ℝ
43	38, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ)
44		dp2cl 29587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _01 ∈ ℝ) → _0_01 ∈ ℝ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ
46	38, 45	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ)
47		dp2cl 29587	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ _0_01 ∈ ℝ) → _0_0_01 ∈ ℝ)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ
49		dpcl 29598	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ _0_0_01 ∈ ℝ) → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
50	37, 48, 49	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ)
52	51, 35	remulcld 10070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
53	31	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
54		chpvalz 30706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
55	53, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ψ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖))
56		chtvalz 30707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
57	53, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
58		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ)
60	59	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℙ)
61		vmaprm 24843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) = (log‘𝑖))
63	62	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑖))
64	57, 63	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (θ‘𝑁) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖))
65	55, 64	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
66	10	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
67	3, 66	fsumcl 14464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
68		infi 8184	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
69	1, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
70	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
71		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
72	71, 6	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℕ)
74	73	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑖 ∈ ℕ)
75	70, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
76	75	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
77	69, 76	fsumcl 14464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
78		inindif 29353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∩ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = ∅)
80		inundif 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (1...𝑁)
81	80	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = (((1...𝑁) ∩ ℙ) ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)))
83	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
84	7	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ)
85	83, 84	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
86	85	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
87	79, 82, 1, 86	fsumsplit 14471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖)))
88	77, 67, 87	comraddd 10250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)))
89	67, 77, 88	mvrraddd 10445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(Λ‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖))
90	65, 89	eqtr2d 2657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
91		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (ψ‘𝑥) = (ψ‘𝑁))
92		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (θ‘𝑥) = (θ‘𝑁))
93	91, 92	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) = ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)))
94		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (√‘𝑥) = (√‘𝑁))
95	94	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) = ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
96	93, 95	breq12d 4666	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)) ↔ ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁))))
97		ax-ros336 30724	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥))
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((ψ‘𝑥) − (θ‘𝑥)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑥)))
99	96, 98, 33	rspcdva 3316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ψ‘𝑁) − (θ‘𝑁)) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
100	90, 99	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_62) · (√‘𝑁)))
101	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
102		log2le1 24677	. . . . 5 ⊢ (log‘2) < 1
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < 1)
104		10nn0 11516	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
105		7nn0 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ0
106	104, 105	nn0expcli 12886	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) ∈ ℕ0
107	106	nn0rei 11303	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑7) ∈ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) ∈ ℝ)
109	51, 108	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) ∈ ℝ)
110	104	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℝ
111		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
112		3z 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
113	110, 111, 112	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
114		1lt10 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < ;10
115		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
116	114, 115	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)
117		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ 0 < 3)) → (;10↑0) < (;10↑3))
118	113, 116, 117	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑0) < (;10↑3)
119	104	numexp0 15780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑0) = 1
120	119	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (;10↑0)
121	110	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ∈ ℂ
122		10pos 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ;10
123	38, 122	gtneii 10149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;10 ≠ 0
124		4z 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
125		expm1 12910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0 ∧ 4 ∈ ℤ) → (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10))
126	121, 123, 124, 125	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = ((;10↑4) / ;10)
127		4m1e3 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 − 1) = 3
128	127	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑(4 − 1)) = (;10↑3)
129		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
130	104, 129	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑4) ∈ ℕ0
131	130	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10↑4) ∈ ℂ
132		divrec2 10702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑4) ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4)))
133	131, 121, 123, 132	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑4) / ;10) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
134	126, 128, 133	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / ;10) · (;10↑4)) = (;10↑3)
135	118, 120, 134	3brtr4i 4683	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ((1 / ;10) · (;10↑4))
136		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
137	136	dp0h 29610	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.1) = (1 / ;10)
138	137	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((1 / ;10) · (;10↑4))
139	135, 138	breqtrri 4680	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ((0.1) · (;10↑4))
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0.1) · (;10↑4)))
141		4p1e5 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
142		5nn0 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
143	142	nn0zi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
144	37, 136, 141, 124, 143	dpexpp1 29616	. . . . . . 7 ⊢ ((0.1) · (;10↑4)) = ((0._01) · (;10↑5))
145	37, 136	rpdp2cl 29589	. . . . . . . 8 ⊢ _01 ∈ ℝ+
146		5p1e6 11155	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
147		6nn0 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
148	147	nn0zi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℤ
149	37, 145, 146, 143, 148	dpexpp1 29616	. . . . . . 7 ⊢ ((0._01) · (;10↑5)) = ((0._0_01) · (;10↑6))
150	37, 145	rpdp2cl 29589	. . . . . . . 8 ⊢ _0_01 ∈ ℝ+
151		6p1e7 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 1) = 7
152	105	nn0zi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
153	37, 150, 151, 148, 152	dpexpp1 29616	. . . . . . 7 ⊢ ((0._0_01) · (;10↑6)) = ((0._0_0_01) · (;10↑7))
154	144, 149, 153	3eqtrri 2649	. . . . . 6 ⊢ ((0._0_0_01) · (;10↑7)) = ((0.1) · (;10↑4))
155	140, 154	syl6breqr 4695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (;10↑7)))
156	37, 150	rpdp2cl 29589	. . . . . . . 8 ⊢ _0_0_01 ∈ ℝ+
157	37, 156	rpdpcl 29611	. . . . . . 7 ⊢ (0._0_0_01) ∈ ℝ+
158	157	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℝ+)
159		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
160	159, 105	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
161	104, 160	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℕ0
162	161	nn0rei 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10↑;27) ∈ ℝ
163	162	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ∈ ℝ)
164	161	nn0ge0i 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (;10↑;27)
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (;10↑;27))
166	163, 165	resqrtcld 14156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ∈ ℝ)
167		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2))
168	121, 105, 159, 167	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = ((;10↑7)↑2)
169		7t2e14 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 2) = ;14
170	169	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑(7 · 2)) = (;10↑;14)
171	168, 170	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑7)↑2) = (;10↑;14)
172	171	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (√‘(;10↑;14))
173		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑7))
174	110, 152, 122, 173	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (;10↑7)
175	38, 107, 174	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ (;10↑7)
176		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑7)) → (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7))
177	107, 175, 176	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;10↑7)↑2)) = (;10↑7)
178	172, 177	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) = (;10↑7)
179	15, 129	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
180	179	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 ∈ ℤ
181	160	nn0zi 11402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;27 ∈ ℤ
182	110, 180, 181	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ)
183		4lt10 11678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;10
184		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
185	15, 159, 129, 105, 183, 184	decltc 11532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;14 < ;27
186	114, 185	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)
187		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ ;27 ∈ ℤ) ∧ (1 < ;10 ∧ ;14 < ;27)) → (;10↑;14) < (;10↑;27))
188	182, 186, 187	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;10↑;14) < (;10↑;27)
189	104, 179	nn0expcli 12886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℕ0
190	189	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;10↑;14) ∈ ℝ
191		expgt0 12893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;10 ∈ ℝ ∧ ;14 ∈ ℤ ∧ 0 < ;10) → 0 < (;10↑;14))
192	110, 180, 122, 191	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (;10↑;14)
193	38, 190, 192	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (;10↑;14)
194	190, 193	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14))
195	162, 164	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))
196		sqrtlt 14002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((;10↑;14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;14)) ∧ ((;10↑;27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (;10↑;27))) → ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))))
197	194, 195, 196	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;10↑;14) < (;10↑;27) ↔ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27)))
198	188, 197	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘(;10↑;14)) < (√‘(;10↑;27))
199	178, 198	eqbrtrri 4676	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑7) < (√‘(;10↑;27))
200	199	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘(;10↑;27)))
201		hgt750lemd.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
202	163, 165, 32, 34	sqrtled 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 ↔ (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁)))
203	201, 202	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(;10↑;27)) ≤ (√‘𝑁))
204	108, 166, 35, 200, 203	ltletrd 10197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;10↑7) < (√‘𝑁))
205	108, 35, 158, 204	ltmul2dd 11928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0._0_0_01) · (;10↑7)) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
206	101, 109, 52, 155, 205	lttrd 10198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
207	14, 101, 52, 103, 206	lttrd 10198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < ((0._0_0_01) · (√‘𝑁)))
208	11, 14, 36, 52, 100, 207	lt2addd 10650	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)) < (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
209		nfv 1843	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
210		nfcv 2764	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑖(log‘2)
211		2prm 15405	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
212	211	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
213		elndif 3734	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℙ → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
214	212, 213	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
215		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (Λ‘2))
216		vmaprm 24843	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℙ → (Λ‘2) = (log‘2))
217	211, 216	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Λ‘2) = (log‘2)
218	215, 217	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝑖 = 2 → (Λ‘𝑖) = (log‘2))
219		2cnd 11093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
220		2ne0 11113	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
221	220	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
222	219, 221	logcld 24317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
223	209, 210, 3, 212, 214, 66, 218, 222	fsumsplitsn 14474	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ ℙ)(Λ‘𝑖) + (log‘2)))
224	147, 12	rpdp2cl 29589	. . . . . 6 ⊢ _62 ∈ ℝ+
225	159, 224	rpdp2cl 29589	. . . . 5 ⊢ _2_62 ∈ ℝ+
226		3rp 11838	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ+
227	147, 226	rpdp2cl 29589	. . . . . 6 ⊢ _63 ∈ ℝ+
228	159, 227	rpdp2cl 29589	. . . . 5 ⊢ _2_63 ∈ ℝ+
229		1p0e1 11133	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
230		4cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
231	230	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
232		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
233	232	addid1i 10223	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 0) = 2
234		3nn0 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
235		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;62 = ;62
236		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;01 = ;01
237		6cn 11102	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
238	237	addid1i 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 0) = 6
239		2p1e3 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
240	147, 159, 37, 15, 235, 236, 238, 239	decadd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (;62 + ;01) = ;63
241	147, 159, 37, 15, 147, 234, 240	dpadd 29619	. . . . . . 7 ⊢ ((6.2) + (0.1)) = (6.3)
242	147, 12, 37, 136, 147, 226, 159, 37, 233, 241	dpadd2 29618	. . . . . 6 ⊢ ((2._62) + (0._01)) = (2._63)
243	159, 224, 37, 145, 159, 227, 129, 37, 231, 242	dpadd2 29618	. . . . 5 ⊢ ((4._2_62) + (0._0_01)) = (4._2_63)
244	129, 225, 37, 150, 129, 228, 15, 37, 229, 243	dpadd2 29618	. . . 4 ⊢ ((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) = (1._4_2_63)
245	244	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = ((1._4_2_63) · (√‘𝑁))
246	30	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1._4_2_62) ∈ ℂ)
247	51	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0._0_0_01) ∈ ℂ)
248	35	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
249	246, 247, 248	adddird 10065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1._4_2_62) + (0._0_0_01)) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
250	245, 249	syl5eqr 2670	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)) = (((1._4_2_62) · (√‘𝑁)) + ((0._0_0_01) · (√‘𝑁))))
251	208, 223, 250	3brtr4d 4685	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) < ((1._4_2_63) · (√‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ;cdc 11493  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  Σcsu 14416  ℙcprime 15385  logclog 24301  θccht 24817  Λcvma 24818  ψcchp 24819  _cdp2 29577  .cdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-ros336 30724

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-atan 24594  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by:  hgt750leme  30736