Theorem ballotlemi1 30564

Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemi1	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	resubcli 10343	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℝ
4		0lt1 10550	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
5		ltsub23 10508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1))
6	1, 2, 1, 5	mp3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1)
7		0m0e0 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 0) = 0
8	7	breq1i 4660	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 0) < 1 ↔ 0 < 1)
9	6, 8	bitr2i 265	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ (0 − 1) < 0)
10	4, 9	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) < 0
11	3, 10	gtneii 10149	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ (0 − 1)
12	11	nesymi 2851	. . . 4 ⊢ ¬ (0 − 1) = 0
13		ballotth.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
14		ballotth.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
15		ballotth.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
16		ballotth.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
17		ballotth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
18		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
19		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℕ)
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 20	ballotlemfp1 30553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
22	21	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
23	22	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
24		1m1e0 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	24	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
26	25	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1))
28	13, 14, 15, 16, 17	ballotlemfval0 30557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
31	30	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
32	23, 27, 31	3eqtrrd 2661	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
33	32	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
34	12, 33	mtbii 316	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
35		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
36		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
37		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
38	13, 14, 15, 16, 17, 35, 36, 37	ballotlemiex 30563	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
39	38	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
40	39	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
41		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
42	41	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
43	42	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
44	40, 43	mpbid 222	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
45	34, 44	mtand 691	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼‘𝐶) = 1)
46	45	neqned 2801	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ...cfz 12326  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlemic  30568