Theorem cnfldfun 19758

Description: The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfun	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 15989	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 15999	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 15998	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 10017	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 11830	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 11831	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 5945	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 13844	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 6490	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 5939	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 5611	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 5609	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 3812	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		basendx 15923	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22		1re 10039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		1lt4 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
24	22, 23	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 4
25		starvndx 16004	. . . . . . . . 9 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
26	24, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
27	21, 26	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28		plusgndx 15976	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) = 2
29		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2lt4 11198	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
31	29, 30	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 4
32	31, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
33	28, 32	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34		mulrndx 15996	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) = 3
35		3re 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36		3lt4 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
37	35, 36	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 4
38	37, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
39	34, 38	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40		disjtpsn 4251	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
41	27, 33, 39, 40	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
42	20, 41	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43		funun 5932	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
44	17, 42, 43	mp2an 708	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45		tsetndx 16040	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
46		9re 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
47		9lt10 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;10
48	46, 47	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;10
49		plendx 16047	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘ndx) = ;10
50	48, 49	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (le‘ndx)
51	45, 50	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
53		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	46	leidi 10562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ≤ 9
56	52, 53, 54, 55	decltdi 11547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;12
57	46, 56	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;12
58		dsndx 16062	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
59	57, 58	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (dist‘ndx)
60	45, 59	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61		10re 11517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℝ
62		1nn0 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
63		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
65		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
66	62, 63, 64, 65	declt 11530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
67	61, 66	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;12
68	67, 58	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (dist‘ndx)
69	49, 68	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
71		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
72		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
73		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74		letsr 17227	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
75	74	elexi 3213	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
76		absf 14077	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
77		fex 6490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
78	76, 7, 77	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
79		subf 10283	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
80	7, 7	xpex 6962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
81		fex 6490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
82	79, 80, 81	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
83	78, 82	coex 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
84	70, 71, 72, 73, 75, 83	funtp 5945	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
85	51, 60, 69, 84	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
87		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
88	86, 87	funsn 5939	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
89	85, 88	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
90	73, 75, 83	dmtpop 5611	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
91	87	dmsnop 5609	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
92	90, 91	ineq12i 3812	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93		3nn0 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
94	52, 93, 54, 55	decltdi 11547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;13
95	46, 94	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;13
96		unifndx 16064	. . . . . . . . 9 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
97	95, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
98	45, 97	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99		3nn 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
100		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
101	62, 63, 99, 100	declt 11530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;13
102	61, 101	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;13
103	102, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (UnifSet‘ndx)
104	49, 103	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
105	62, 53	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
107		2lt3 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
108	62, 53, 99, 107	declt 11530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 < ;13
109	106, 108	ltneii 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ≠ ;13
110	109, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 ≠ (UnifSet‘ndx)
111	58, 110	eqnetri 2864	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112		disjtpsn 4251	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	98, 104, 111, 112	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	92, 113	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115		funun 5932	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
116	89, 114, 115	mp2an 708	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
117	44, 116	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118		dmun 5331	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119		dmun 5331	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120	118, 119	ineq12i 3812	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
121	18, 90	ineq12i 3812	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122		1lt9 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 9
123	22, 122	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 9
124	123, 45	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (TopSet‘ndx)
125	21, 124	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126		2lt9 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 9
127	29, 126	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 9
128	127, 45	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (TopSet‘ndx)
129	28, 128	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130		3lt9 11227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < 9
131	35, 130	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 9
132	131, 45	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (TopSet‘ndx)
133	34, 132	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134	125, 129, 133	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135		1lt10 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;10
136	22, 135	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;10
137	136, 49	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (le‘ndx)
138	21, 137	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139		2lt10 11680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;10
140	29, 139	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;10
141	140, 49	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (le‘ndx)
142	28, 141	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143		3lt10 11679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
144	35, 143	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;10
145	144, 49	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (le‘ndx)
146	34, 145	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147	138, 142, 146	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
148	22, 46, 122	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 9
149	52, 53, 62, 148	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;12
150	22, 149	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;12
151	150, 58	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (dist‘ndx)
152	21, 151	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
153	29, 46, 126	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ 9
154	52, 53, 53, 153	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;12
155	29, 154	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;12
156	155, 58	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (dist‘ndx)
157	28, 156	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
158	35, 46, 130	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≤ 9
159	52, 53, 93, 158	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;12
160	35, 159	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;12
161	160, 58	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (dist‘ndx)
162	34, 161	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163	152, 157, 162	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164		disjtp2 4252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165	134, 147, 163, 164	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166	121, 165	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
167	18, 91	ineq12i 3812	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
168	52, 93, 62, 148	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;13
169	22, 168	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ ;13
170	169, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
171	21, 170	eqnetri 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
172	52, 93, 53, 153	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;13
173	29, 172	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ ;13
174	173, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
175	28, 174	eqnetri 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
176	52, 93, 93, 158	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < ;13
177	35, 176	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ ;13
178	177, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
179	34, 178	eqnetri 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180		disjtpsn 4251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181	171, 175, 179, 180	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182	167, 181	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183	166, 182	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184		undisj2 4030	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185	183, 184	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
186	19, 90	ineq12i 3812	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187		incom 3805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
189		4lt9 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 9
190	188, 189	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≠ 4
191	190, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
192	45, 191	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193		4lt10 11678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;10
194	188, 193	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ≠ 4
195	194, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ≠ (*𝑟‘ndx)
196	49, 195	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
198	188, 46, 189	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≤ 9
199	52, 53, 197, 198	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;12
200	188, 199	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;12 ≠ 4
201	200, 25	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 ≠ (*𝑟‘ndx)
202	58, 201	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203		disjtpsn 4251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204	192, 196, 202, 203	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205	187, 204	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206	186, 205	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
207	19, 91	ineq12i 3812	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
208	52, 93, 197, 198	decltdi 11547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;13
209	188, 208	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ ;13
210	209, 96	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
211	25, 210	eqnetri 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212		disjsn2 4247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214	207, 213	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215	206, 214	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216		undisj2 4030	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217	215, 216	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218	185, 217	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219		undisj1 4029	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220	218, 219	mpbi 220	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221	120, 220	eqtri 2644	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222		funun 5932	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223	117, 221, 222	mp2an 708	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224		df-cnfld 19747	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225	224	funeqi 5909	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226	223, 225	mpbir 221	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  {ctp 4181  ⟨cop 4183   × cxp 5112  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075   − cmin 10266  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  9c9 11077  ;cdc 11493  ∗ccj 13836  abscabs 13974  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  *_𝑟cstv 15943  TopSetcts 15947  lecple 15948  distcds 15950  UnifSetcunif 15951   TosetRel ctsr 17199  MetOpencmopn 19736  metUnifcmetu 19737  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by: (None)