Theorem 3dvds 15052

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
3dvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 11410	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3		fzfid 12772	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4		ffvelrn 6357	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
5	4	adantll 750	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
6		10nn 11514	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7	6	nnzi 11401	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℤ
8		elfznn0 12433	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		zexpcl 12875	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
12	5, 11	zmulcld 11488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
13	3, 12	fsumzcl 14466	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
14	3, 5	fsumzcl 14466	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
15	12, 5	zsubcld 11487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
16		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	6	nncni 11030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℂ
18	16, 17	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − ;10) = (;10 − 1)
19		9p1e10 11496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
20	19	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 = (9 + 1)
21	20	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
22		9cn 11108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22, 16	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 + 1) − 1) = 9
24	18, 21, 23	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 − ;10) = 9
25		3t3e9 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
26	24, 25	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 − ;10) = (3 · 3)
27	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ∈ ℂ)
28		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		1lt10 11681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < ;10
30	28, 29	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ≠ 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ≠ 1)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	27, 31, 32	geoser 14599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) = ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)))
34		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
35		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
37		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
38	7, 36, 37	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
39	34, 38	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) ∈ ℤ)
40	33, 39	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ)
41		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ) → (1 − ;10) ∈ ℤ)
43	41, 7, 42	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ∈ ℤ
44	28, 29	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ ;10
45	16, 17	subeq0i 10361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 − ;10) = 0 ↔ 1 = ;10)
46	45	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − ;10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ;10)
47	44, 46	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ≠ 0
48	7, 32, 10	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
49		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (;10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
50	41, 48, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
51		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ (1 − ;10) ≠ 0 ∧ (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
52	43, 47, 50, 51	mp3an12i 1428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
53	40, 52	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)))
54	48	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
55		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
56	54, 16, 55	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
57	53, 56	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1))
58		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10↑𝑘) ∈ ℤ → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
59	48, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
60		dvdsnegb 14999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
61	43, 59, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
62	57, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
63		negdvdsb 14998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
64	43, 59, 63	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
65	62, 64	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
66	26, 65	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
67		muldvds1 15006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
68	1, 1, 59, 67	mp3an12i 1428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
69	66, 68	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
70	9, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
71	11, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
72		dvdsmultr2 15021	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
73	1, 5, 71, 72	mp3an2i 1429	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
74	70, 73	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)))
75	5	zcnd 11483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	11	zcnd 11483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
77	75, 76	muls1d 10491	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
78	74, 77	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
79	3, 2, 15, 78	fsumdvds 15030	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
80	12	zcnd 11483	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℂ)
81	3, 80, 75	fsumsub 14520	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
82	79, 81	breqtrd 4679	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
83		dvdssub2 15023	. 2 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
84	2, 13, 14, 82, 83	syl31anc 1329	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  3c3 11071  9c9 11077  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ;cdc 11493  ...cfz 12326  ↑cexp 12860  Σcsu 14416   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984

This theorem is referenced by: (None)