Theorem dirkertrigeqlem1 40315

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 1)))
3	2	sumeq1d 14431	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)))
4	3	eqeq1d 2624	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
5		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
6	5	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝑦)))
7	6	sumeq1d 14431	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)))
8	7	eqeq1d 2624	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
9		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
10	9	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · (𝑦 + 1))))
11	10	sumeq1d 14431	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)))
12	11	eqeq1d 2624	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
13		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
14	13	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (1...(2 · 𝑥)) = (1...(2 · 𝐾)))
15	14	sumeq1d 14431	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)))
16	15	eqeq1d 2624	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑥))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
17		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	2timesi 11147	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
19	18	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ (1...(2 · 1)) = (1...(1 + 1))
20	19	sumeq1i 14428	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π))
21		1z 11407	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		uzid 11702	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘1)
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ (ℤ≥‘1))
25		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(1 + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
28		picn 24211	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → π ∈ ℂ)
30	27, 29	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
31	30	coscld 14861	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (1...(1 + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = (1 + 1))
33		1p1e2 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → 𝑛 = 2)
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → (𝑛 · π) = (2 · π))
36	35	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (1 + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(2 · π)))
37	24, 31, 36	fsump1 14487	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))))
38	37	trud 1493	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π)))
39		coscl 14857	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
40	28, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) ∈ ℂ
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = (1 · π))
42	28	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
43	41, 42	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · π) = π)
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
45	44	fsum1 14476	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π))
46	21, 40, 45	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘π)
47		cospi 24224	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
48	46, 47	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) = -1
49		cos2pi 24228	. . . . 5 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
50	48, 49	oveq12i 6662	. . . 4 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(2 · π))) = (-1 + 1)
51		neg1cn 11124	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
52		1pneg1e0 11129	. . . . 5 ⊢ (1 + -1) = 0
53	17, 51, 52	addcomli 10228	. . . 4 ⊢ (-1 + 1) = 0
54	38, 50, 53	3eqtri 2648	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(1 + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
55	20, 54	eqtri 2644	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 1))(cos‘(𝑛 · π)) = 0
56	18	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1))
57		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
58		nncn 11028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
59	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
60	57, 58, 59	adddid 10064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
61	57, 58	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
62	61, 59, 59	addassd 10062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = ((2 · 𝑦) + (1 + 1)))
63	56, 60, 62	3eqtr4a 2682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = (((2 · 𝑦) + 1) + 1))
64	63	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1...(2 · (𝑦 + 1))) = (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)))
65	64	sumeq1d 14431	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
66	65	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)))
67		1red 10055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
70		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
71	69, 70	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
72	71, 67	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
73		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
75		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
76	74, 75	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
77	67, 76	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑦) + 1))
78	67, 72, 77	ltled 10185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1))
79		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
81		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
82	80, 81	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
83	82	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
84		eluz 11701	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
85	21, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ ((2 · 𝑦) + 1)))
86	78, 85	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
87		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → π ∈ ℂ)
90	88, 89	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
91	90	coscld 14861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
92	91	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
93		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (𝑛 · π) = ((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))
94	93	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((2 · 𝑦) + 1) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)))
95	86, 92, 94	fsump1 14487	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
96	95	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(((2 · 𝑦) + 1) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))))
97		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
99		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
100		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
101	67, 70, 74	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦)))
102	100, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑦))
103	99, 102	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
104	67, 69, 71, 98, 103	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑦))
105	67, 71, 104	ltled 10185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (2 · 𝑦))
106		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
107	21, 82, 106	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑦)))
108	105, 107	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ (ℤ≥‘1))
109		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
110	109	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
111	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → π ∈ ℂ)
112	110, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
113	112	coscld 14861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1)) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
114	113	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))) → (cos‘(𝑛 · π)) ∈ ℂ)
115		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑦) + 1) · π))
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑦) + 1) → (cos‘(𝑛 · π)) = (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)))
117	108, 114, 116	fsump1 14487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))))
118	33, 99	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 + 1) = (2 · 1))
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (1 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
121	120, 62, 60	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) + 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π) = ((2 · (𝑦 + 1)) · π))
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)))
124	58, 59	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
125	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
126	57, 124, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) = (2 · ((𝑦 + 1) · π)))
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)))
128	124, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) · π) ∈ ℂ)
129		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
130		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
131	129, 130	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ≠ 0)
133	74	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
134	128, 125, 57, 132, 133	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · ((𝑦 + 1) · π)) / (2 · π)) = (((𝑦 + 1) · π) / π))
135	124, 125, 132	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 + 1) · π) / π) = (𝑦 + 1))
136	127, 134, 135	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) = (𝑦 + 1))
137	81	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
138	136, 137	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ)
139		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
140	58, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
141	57, 140	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
142	141, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ)
143		coseq1 24274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) ∈ ℂ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1 ↔ (((2 · (𝑦 + 1)) · π) / (2 · π)) ∈ ℤ))
145	138, 144	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((2 · (𝑦 + 1)) · π)) = 1)
146	123, 145	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π)) = 1)
147	117, 146	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
148	147	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1))
149		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
150	61, 59, 125	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)))
151	61, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) ∈ ℂ)
152	42, 125	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) ∈ ℂ)
153	151, 152	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) · π) + (1 · π)) = ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)))
154	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 · π) = π)
155	57, 58	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) = (𝑦 · 2))
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = ((𝑦 · 2) · π))
157	58, 57, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
158	156, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) · π) = (𝑦 · (2 · π)))
159	154, 158	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 · π) + ((2 · 𝑦) · π)) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
160	150, 153, 159	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · π) = (π + (𝑦 · (2 · π))))
161	160	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))))
162		cosper 24234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
163	28, 81, 162	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(π + (𝑦 · (2 · π)))) = (cos‘π))
164	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘π) = -1)
165	161, 163, 164	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
166	165	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π)) = -1)
167	149, 166	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) = (0 + -1))
168	167	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = ((0 + -1) + 1))
169	51	addid2i 10224	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + -1) = -1
170	169	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
171	170, 53	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
172	168, 171	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘(((2 · 𝑦) + 1) · π))) + 1) = 0)
173	148, 172	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...((2 · 𝑦) + 1))(cos‘(𝑛 · π)) + (cos‘((((2 · 𝑦) + 1) + 1) · π))) = 0)
174	66, 96, 173	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
175	174	ex 450	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝑦))(cos‘(𝑛 · π)) = 0 → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑦 + 1)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0))
176	4, 8, 12, 16, 55, 175	nnind 11038	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · 𝐾))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  Σcsu 14416  cosccos 14795  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  40317