sqwvfourb - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sqwvfourb 40446

Description: Fourier series 𝐵 coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqwvfourb.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
sqwvfourb.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfourb.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
sqwvfourb	⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem sqwvfourb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 10342	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
4	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		negpilt0 39492	. . . . . . 7 ⊢ -π < 0
7	2, 5, 6	ltleii 10160	. . . . . 6 ⊢ -π ≤ 0
8		pipos 24212	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
9	5, 1, 8	ltleii 10160	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
10	2, 1	elicc2i 12239	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1244	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13		elioore 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	renegcli 10342	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
17	15, 16	keepel 4155	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
18		sqwvfourb.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
19	18	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
20	14, 17, 19	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
21	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ)
23	20, 22	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
24		sqwvfourb.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 11036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℂ)
27	14	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
28	26, 27	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℂ)
29	28	sincld 14860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
30	23, 29	mulcld 10060	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
31		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	31, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
33	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
34		sqwvfourb.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
35		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ⁺
37		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ π ∈ ℝ⁺) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
38	35, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ⁺
39	34, 38	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
41	31, 40	modcld 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
42		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43	42	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · π) = (π + π)
44	34, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (π + π)
45	44	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
46	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -π ∈ ℂ
47	46, 42, 42	addassi 10048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
48	42	negidi 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π + -π) = 0
49	42, 46, 48	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π + π) = 0
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
51	42	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + π) = π
52	50, 51	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π + π) + π) = π
53	45, 47, 52	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π = (-π + 𝑇)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
57	56, 1	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
58	34, 57	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
60	2	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ^*
61		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
62		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
63	60, 61, 62	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
64	55, 31, 59, 63	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
65	54, 64	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
66	58	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
67	66	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
68	67	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
69	68	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
71	31, 59	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
72		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
73	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
74	72, 33, 71, 73, 65	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
75	72, 71, 74	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
76		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
77	60, 61, 76	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
78	31, 72, 59, 77	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
79	59	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
80	79	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
81	78, 80	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
82		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
83	71, 40, 75, 81, 82	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
84		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
85		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
86	31, 40, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
87	70, 83, 86	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
88	65, 87	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
89	33, 41, 88	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
90	89	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
91	32, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹‘𝑥) = -1)
92	91	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝐹‘𝑥) = -1)
93	92	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
94	93	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
95		neg1cn 11124	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
97	24	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
98	97	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
99	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
101	100	resincld 14873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
102		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
103	102	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
104		ioombl 23333	. . . . . . . 8 ⊢ (-π(,)0) ∈ dom vol
105	104	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
106	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
107		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
108	2, 5, 107	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℝ
109	108	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
110	109	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111	106, 110	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
112	111	resincld 14873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
113		0red 10041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
114		sincn 24198	. . . . . . . . . 10 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	108, 116	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-π[,]0) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
119		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
121	118, 25, 120	constcncfg 40084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
122	118, 120	idcncfg 40085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
123	121, 122	mulcncf 23215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124	115, 123	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125		cniccibl 23607	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
126	3, 113, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
127	103, 105, 112, 126	iblss 23571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
128	96, 101, 127	iblmulc2 23597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
129	94, 128	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
130	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ^*)
131	1	rexri 10097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ^*
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ^*)
133		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
134	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
135		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
136	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
137		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
138	61, 131, 137	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
139	134, 135, 133, 136, 138	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑥)
140		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
141	61, 131, 140	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
142	130, 132, 133, 139, 141	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
143	142, 20	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
144	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ⁺)
145	135, 133, 138	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
146	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
147	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
148		2timesgt 39500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π ∈ ℝ⁺ → π < (2 · π))
149	36, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < (2 · π)
150	149, 34	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π < 𝑇
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152	133, 146, 147, 141, 151	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153		modid 12695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154	133, 144, 145, 152, 153	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155	154, 141	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156	155	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157	156	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
158	143, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘𝑥) = 1)
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
160	142, 29	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
161	160	mulid2d 10058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
162	159, 161	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
163	162	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
164		ioossicc 12259	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
165	164	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
166		ioombl 23333	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ∈ dom vol
167	166	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
168	97	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
169		iccssre 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
170	5, 1, 169	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
171	170	sseli 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	171	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
173	168, 172	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
174	173	resincld 14873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
175	170, 116	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
177	176, 25, 120	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
178	176, 120	idcncfg 40085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179	177, 178	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180	115, 179	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181		cniccibl 23607	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
182	113, 4, 180, 181	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
183	165, 167, 174, 182	iblss 23571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿¹)
184	163, 183	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿¹)
185	3, 4, 12, 30, 129, 184	itgsplitioo 23604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
186	185	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
187	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
188	187	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
189	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ^*)
190	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ^*)
191	31, 72, 33, 77, 73	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < π)
192	189, 190, 31, 63, 191	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
193	192, 29	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (sin‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℂ)
194	193	mulm1d 10482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (-1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
195	188, 194	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = -(sin‘(𝑁 · 𝑥)))
196	195	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
197	101, 127	itgneg 23570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)-(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
198	24	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
199	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 0)
200	25, 198, 3, 113, 199	itgsincmulx 40190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
201	24	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
202		cosknegpi 40080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · -π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
204	25	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = (cos‘0))
206		cos0 14880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (cos‘0) = 1
207	205, 206	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · 0)) = 1)
208	203, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1))
209		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 1) = 0
210		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = 1)
211	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (1 − 1))
212		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = 0)
213	209, 211, 212	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
214		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) = -1)
215	214	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = (-1 − 1))
216		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
217		negdi2 10339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
218	216, 216, 217	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -(1 + 1) = (-1 − 1)
219	218	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 − 1) = -(1 + 1)
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1 − 1) = -(1 + 1))
221		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -2)
222		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
223	222	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(1 + 1) = -2
224	221, 223	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -(1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
225	215, 220, 224	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
226	213, 225	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(2 ∥ 𝑁, 1, -1) − 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2)
227	208, 226	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, -2))
228	227	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · -π)) − (cos‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
229	200, 228	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
230	229	negeqd 10275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
231		0cn 10032	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
232		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
233	232	negcli 10349	. . . . . . . . . 10 ⊢ -2 ∈ ℂ
234	231, 233	keepel 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ
235	234	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) ∈ ℂ)
236	235, 25, 198	divnegd 10814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁))
237		neg0 10327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 = 0
238	212	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = -0)
239		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 0)
240	237, 238, 239	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
241	232	negnegi 10351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --2 = 2
242	221	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = --2)
243		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) = 2)
244	241, 242, 243	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
245	240, 244	pm2.61i 176	. . . . . . . . 9 ⊢ -if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
246	245	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)
247	246	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-if(2 ∥ 𝑁, 0, -2) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
248	230, 236, 247	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫(-π(,)0)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
249	196, 197, 248	3eqtr2d 2662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
250	133, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
251	250, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹‘𝑥) = 1)
252	251	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
253	252	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
254	253, 161	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
255	254	itgeq2dv 23548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
256	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ π)
257	25, 198, 113, 4, 256	itgsincmulx 40190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)(sin‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁))
258		coskpi2 40077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
259	201, 258	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 1, -1))
260	207, 259	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)))
261	210	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − 1))
262	209, 261, 239	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
263	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = (1 − -1))
264	216, 216	subnegi 10360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − -1) = (1 + 1)
265	264	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − -1) = (1 + 1))
266	243, 222	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 + 1) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
267	263, 265, 266	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
268	262, 267	pm2.61i 176	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − if(2 ∥ 𝑁, 1, -1)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)
269	260, 268	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) = if(2 ∥ 𝑁, 0, 2))
270	269	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((cos‘(𝑁 · 0)) − (cos‘(𝑁 · π))) / 𝑁) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
271	255, 257, 270	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁))
272	249, 271	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
273	231, 232	keepel 4155	. . . . . 6 ⊢ if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ
274	273	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) ∈ ℂ)
275	274, 274, 25, 198	divdird 10839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁) + (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) / 𝑁)))
276	239, 239	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (0 + 0))
277		00id 10211	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
278	276, 277	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 0)
279	278	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
280	279	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
281	25, 198	div0d 10800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
282	281	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
283		iftrue 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = 0)
284	283	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
285	284	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
286	280, 282, 285	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
287	243, 243	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = (2 + 2))
288		2p2e4 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
289	287, 288	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) = 4)
290	289	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = (4 / 𝑁))
291		iffalse 4095	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) = (4 / 𝑁))
292	290, 291	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
293	292	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
294	286, 293	pm2.61dan 832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((if(2 ∥ 𝑁, 0, 2) + if(2 ∥ 𝑁, 0, 2)) / 𝑁) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
295	272, 275, 294	3eqtr2d 2662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)))
296	295	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π))
297	283	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
298	297	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = (0 / π))
299	5, 8	gtneii 10149	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
300	42, 299	div0i 10759	. . . . 5 ⊢ (0 / π) = 0
301	300	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (0 / π) = 0)
302		iftrue 4092	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = 0)
303	302	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
304	303	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
305	298, 301, 304	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
306	291	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
307	306	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = ((4 / 𝑁) / π))
308		4cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
309	308	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
310	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
311	299	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
312	309, 25, 310, 198, 311	divdiv1d 10832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
313	312	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((4 / 𝑁) / π) = (4 / (𝑁 · π)))
314		iffalse 4095	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))) = (4 / (𝑁 · π)))
315	314	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑁 → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
316	315	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (4 / (𝑁 · π)) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
317	307, 313, 316	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
318	305, 317	pm2.61dan 832	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / 𝑁)) / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))
319	186, 296, 318	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑁, 0, (4 / (𝑁 · π))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ⊆ wss 3574 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 dom cdm 5114 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 4c4 11072 ℤcz 11377 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178 mod cmo 12668 sincsin 14794 cosccos 14795 πcpi 14797 ∥ cdvds 14983 –cn→ccncf 22679 volcvol 23232 𝐿¹cibl 23386 ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631

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