Theorem hashnn0n0nn 13180

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 13178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (#‘𝑉))
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (#‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (#‘𝑉))
12	11	necon2ai 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (#‘𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 456	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2689	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	syl5ib 234	. . 3 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 445	. 2 ⊢ (((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 446	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  26349