Theorem ltnlei 10158

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 10157	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 347	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  letrii  10162  nn0ge2m1nn  11360  zgt1rpn0n1  11871  0nelfz1  12360  fzpreddisj  12390  hashnn0n0nn  13180  hashge2el2dif  13262  n2dvds1  15104  divalglem5  15120  divalglem6  15121  sadcadd  15180  strlemor1OLD  15969  htpycc  22779  pco1  22815  pcohtpylem  22819  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevlem  22826  vitalilem5  23381  vieta1lem2  24066  ppiltx  24903  ppiublem1  24927  chtub  24937  axlowdimlem16  25837  axlowdim  25841  lfgrnloop  26020  lfuhgr1v0e  26146  lfgrwlkprop  26584  ballotlem2  30550  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem5  31166  bcneg1  31622  poimirlem9  33418  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem22  33431  fdc  33541  pellexlem6  37398  jm2.23  37563