Theorem cusgrsize2inds 26349

Description: Induction step in cusgrsize 26350. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		hashnn0n0nn 13180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	anassrs 680	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (#‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
9	8	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
10		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
15		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
18	9, 17	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
21		brfi1indlem 13278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1)))
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
23	6, 7, 13, 20, 22	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((#‘𝑉) − 1)C2))
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)))
26	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
27		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
28		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
29	27, 28	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
30		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
32	1, 30, 31	cusgrsizeinds 26348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)))
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)))
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
36		bcn2m1 13111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) = ((#‘𝑉)C2))
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
38	37	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
40	35, 39	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
42	41	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
44	43	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
46	29, 45	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
47	46	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
49	48	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
50	26, 49	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
52	51	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
53	25, 52	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
54	53	com24 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
55	23, 54	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
56	55	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
57	56	adantllr 755	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
58	5, 57	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
59	58	exp41 638	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
60	59	com25 99	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
61	3, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
62	61	3imp 1256	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
63	62	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  Ccbc 13089  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  ComplUSGraphccusgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-fusgr 26209  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231  df-cusgr 26232

This theorem is referenced by:  cusgrsize  26350