Theorem irredrmul 18707

Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredrmul.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
irredrmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredrmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredrmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
2		simp1 1061	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
4		irredrmul.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
6	4, 5	unitdvcl 18687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
7	6	3com23 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
8	7	3expia 1267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
9	2, 3, 8	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈))
10		irredn0.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	10, 11	irredcl 18704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
13	12	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
14		irredrmul.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	11, 4, 5, 14	dvrcan3 18692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
16	2, 13, 3, 15	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
17	16	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
18	9, 17	sylibd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
19	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	11, 4, 5	dvrcl 18686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
25		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑈)
27	4, 14	unitmulcl 18664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
28	27	3com23 1271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈)
29	28	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
30	19, 22, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈))
31	11, 4, 5, 14	dvrcan1 18691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
32	19, 21, 22, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) = 𝑦)
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
34	30, 33	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	26, 34	mtod 189	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ¬ (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝑈)
36	24, 35	eldifd 3585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈))
37		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌))
39		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
41	11, 4, 5, 14	dvrass 18690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
42	19, 40, 21, 22, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑥 · 𝑦)(/r‘𝑅)𝑌) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
43	16	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ((𝑋 · 𝑌)(/r‘𝑅)𝑌) = 𝑋)
44	38, 42, 43	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋)
45		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)))
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦(/r‘𝑅)𝑌) → ((𝑥 · 𝑧) = 𝑋 ↔ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋))
47	46	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦(/r‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · (𝑦(/r‘𝑅)𝑌)) = 𝑋) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
48	36, 44, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) ∧ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) ∧ (𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)
49	48	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)) → (∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
50	49	reximdva 3017	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋))
51	18, 50	orim12d 883	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
52	11, 4	unitcl 18659	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
53	52	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
54	11, 14	ringcl 18561	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 13, 53, 54	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
56		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈) = ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)
57	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 18700	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑅) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
58	55, 57	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑌))))
59	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 18700	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
60	13, 59	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)∃𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑈)(𝑥 · 𝑧) = 𝑋)))
61	51, 58, 60	3imtr4d 283	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (¬ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐼))
62	1, 61	mt4d 152	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Ringcrg 18547  Unitcui 18639  Irredcir 18640  /_rcdvr 18682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-irred 18643  df-invr 18672  df-dvr 18683

This theorem is referenced by:  irredlmul  18708  irredneg  18710