Theorem islss4 18962

Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss4.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
islss4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islss4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islss4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss4	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   · ,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islss4

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 18957	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3		islss4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		islss4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		islss4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5, 1	lssvscl 18955	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
7	6	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)
8	2, 7	jca 554	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈))
9		islss4.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10	9	subgss 17595	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
11	10	ad2antrl 764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13	12	subg0cl 17602	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
14		ne0i 3921	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ≠ ∅)
16	15	ad2antrl 764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	17	subgcl 17604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
19	18	3exp 1264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → (𝑐 ∈ 𝑈 → ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)))
21	20	ralrimdv 2968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
22	21	ralimdv 2963	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
23	22	ralimdv 2963	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
24	23	impr 649	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈)
25	3, 5, 9, 17, 4, 1	islss 18935	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ∀𝑐 ∈ 𝑈 ((𝑎 · 𝑏)(+g‘𝑊)𝑐) ∈ 𝑈))
26	11, 16, 24, 25	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
27	8, 26	impbida 877	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝑈 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lssacs  18967  lmhmima  19047  lmhmpreima  19048  lmhmeql  19055  lsmcl  19083  issubassa2  19345  mplind  19502  dsmmlss  20088