Theorem mplind 19502

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplind.sk	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp	⊢ + = (+g‘𝑌)
mplind.st	⊢ · = (.r‘𝑌)
mplind.sc	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mplind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
mplind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
mplind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. 2 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐻
2		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		mplind.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
4		mplind.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2, 3, 4	psrassa 19414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
6		inss2 3834	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
7		mplind.sy	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		mplind.sb	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		crngring 18558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	2, 7, 8, 3, 10	mplsubrg 19440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	12	subrgss 18781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
15	6, 14	syl5ss 3614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16		mplind.sv	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
17	7, 16, 8, 3, 10	mvrf2 19492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
18		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 → 𝑉 Fn 𝐼)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
20		mplind.v	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻)
22		fnfvrnss 6390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉 ⊆ 𝐻)
23	19, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐻)
24		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 → ran 𝑉 ⊆ 𝐵)
25	17, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐵)
26	23, 25	ssind 3837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵))
27		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
28	27, 12	aspss 19332	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)))
29	5, 15, 26, 28	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)))
30	7, 2, 16, 27, 3, 4	mplbas2 19470	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
31	30, 8	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
32	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
33	7	mplassa 19454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
34	3, 4, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ AssAlg)
35		mplind.sc	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑌)
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
37	35, 36	asclrhm 19342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
41	39, 40	rhm1 18730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r‘𝑌))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r‘𝑌))
43	7, 3, 4	mplsca 19445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
44	43, 10	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
46	45, 39	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
48		mplind.sk	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
49	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
50	48, 49	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
51	47, 50	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
52		mplind.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
56	55	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
57	51, 53, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
58	42, 57	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ 𝐻)
59		assaring 19320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
60	34, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
61	8, 40	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ 𝐵)
63	58, 62	elind 3798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
64		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
66	1	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐻)
67	1	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐻)
68	66, 67	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻))
69		mplind.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
70	69	caovclg 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
71	68, 70	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
72		assalmod 19319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
73	34, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
74		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
77		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
78	6, 77	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
79		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
80	6, 79	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
81		mplind.sp	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ + = (+g‘𝑌)
82	8, 81	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
83	76, 78, 80, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
84	71, 83	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
85	84	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
86	85	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
87		mplind.st	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑌)
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑌) = (invg‘𝑌)
89	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
90		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
91	6, 90	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
92	8, 87, 40, 88, 89, 91	ringnegl 18594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) = ((invg‘𝑌)‘𝑧))
93		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝜑)
94		rhmghm 18725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
95	38, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
97	45, 96, 88	ghminv 17667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
98	95, 47, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
99	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)))
100	98, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)))
101		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
102	44, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
103	45, 96	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
104	102, 47, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
105	104, 50	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
107	106	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
108	107	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
109	105, 53, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
110	100, 109	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻)
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻)
112	1, 90	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐻)
113		mplind.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
114	113	caovclg 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
115	93, 111, 112, 114	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (((invg‘𝑌)‘(1r‘𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
116	92, 115	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
117	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
118	8, 88	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
119	117, 91, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
120	116, 119	elind 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
121	86, 120	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))
122	121	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))
123	8, 81, 88	issubg2 17609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))))
124	75, 123	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ((invg‘𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)))))
125	32, 65, 122, 124	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
126	1	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐻)
127	1	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐻)
128	126, 127	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻))
129	128, 113	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
130	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
131		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
132	6, 131	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
133		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
134	6, 133	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
135	8, 87	ringcl 18561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
136	130, 132, 134, 135	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
137	129, 136	elind 3798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
138	137	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
139	8, 40, 87	issubrg2 18800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
140	60, 139	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
141	125, 63, 138, 140	mpbir3and 1245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
142	7, 2, 8	mplval2 19431	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
143	142	subsubrg 18806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)))
144	143	simprbda 653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
145	11, 141, 144	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
146		assalmod 19319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
147	5, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
148	2, 7, 8, 3, 10	mpllss 19438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
149	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
150		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
151		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
152	6, 151	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
154	35, 36, 45, 8, 87, 153	asclmul1 19339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤))
155	149, 150, 152, 154	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤))
156	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
157	150, 156	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐾)
158	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻)
159		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑧))
160	159	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻))
161	160	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐶‘𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻)
162	157, 158, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻)
163	1, 151	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑤 ∈ 𝐻)
164	162, 163	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻))
165	113	caovclg 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐶‘𝑧) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 ∈ 𝐻)) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
166	164, 165	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → ((𝐶‘𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
167	155, 166	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
168	73	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
169	8, 36, 153, 45	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
170	168, 150, 152, 169	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
171	167, 170	elind 3798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
172	171	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
173		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
174	36, 45, 8, 153, 173	islss4 18962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
175	73, 174	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑌)𝑤) ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))))
176	125, 172, 175	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
177		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
178	142, 177, 173	lsslss 18961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)))
179	178	simprbda 653	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
180	147, 148, 176, 179	syl21anc 1325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
181	27, 12, 177	aspid 19330	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻 ∩ 𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)) = (𝐻 ∩ 𝐵))
182	5, 145, 180, 181	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻 ∩ 𝐵)) = (𝐻 ∩ 𝐵))
183	29, 31, 182	3sstr3d 3647	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐻 ∩ 𝐵))
184		mplind.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
185	183, 184	sseldd 3604	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻 ∩ 𝐵))
186	1, 185	sseldi 3601	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  AssAlgcasa 19309  AlgSpancasp 19310  algSccascl 19311   mPwSer cmps 19351   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  mpfind  19536