Theorem isnzr2hash 19264

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 19263. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2hash.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2hash	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 19259	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2hash.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 18568	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	4, 2	ring0cl 18569	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	rexri 10097	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
10		prex 4909	. . . . . . . 8 ⊢ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V
11		hashxrcl 13148	. . . . . . . 8 ⊢ ({(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
13		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
14	4, 13	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		hashxrcl 13148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
17		1lt2 11194	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
18		hashprg 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2))
19	18	biimpa 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2)
20	17, 19	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}))
21		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵))
22		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
23		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
24	22, 23	prss 4351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
25	21, 24	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
26		hashss 13197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
27	14, 25, 26	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (#‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (#‘𝐵))
28	9, 12, 16, 20, 27	xrltletrd 11992	. . . . . 6 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (#‘𝐵))
29	28	ex 450	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
30	5, 6, 29	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (#‘𝐵)))
31	30	imdistani 726	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
32		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
33	4, 1, 2	ring1ne0 18591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	32, 33	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
35	31, 34	impbii 199	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))
36	3, 35	bitri 264	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  #chash 13117  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  NzRingcnzr 19257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-nzr 19258

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  19269  el0ldepsnzr  42256