Theorem lbsextlem3 19160

Description: Lemma for lbsext 19163. A chain in 𝑆 has an upper bound in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
lbsext.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.p	⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
lbsext.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
lbsext.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
lbsext.r	⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
lbsext.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑢,𝜑   𝑢,𝑆,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑧,𝑢,𝑁,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥,𝑧   𝑢,𝑊,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑢)   𝑃(𝑥,𝑧,𝑢)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑢)   𝐽(𝑧,𝑢)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem lbsextlem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsext.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		lbsext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3		ssrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ 𝒫 𝑉
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
5	1, 4	syl6ss 3615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉)
6		sspwuni 4611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
8		lbsext.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
11	10	elpw2 4828	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑉)
12	7, 11	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉)
13		ssintub 4495	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
14		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) → 𝐶 ⊆ 𝑧))
16	15	ss2rabi 3684	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
17	2, 16	eqsstri 3635	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧}
18	1, 17	syl6ss 3615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧})
19		intss 4498	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝐶 ⊆ 𝑧} ⊆ ∩ 𝐴)
21	13, 20	syl5ss 3614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∩ 𝐴)
22		lbsext.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
23		intssuni 4499	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐴)
25	21, 24	sstrd 3613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
26		eluni2 4440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
27		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝜑)
28		lbsext.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
29		lveclmod 19106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LMod)
32	27, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
33		lbsext.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → [⊊] Or 𝐴)
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → [⊊] Or 𝐴)
35		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
37		sorpssun 6944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝐴)
39	32, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆)
40	4, 39	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉)
41	40	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑦 ∪ 𝑢) ⊆ 𝑉)
42	41	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
43		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)
44		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
46		lbsext.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
47	8, 46	lspss 18984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑢 ∖ {𝑥}) ⊆ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
48	31, 42, 45, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
49		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
51		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢)))
52		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
54	53	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
55	54	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
56	55	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
57	51, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 ∪ 𝑢) → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
58	57, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))))
59	58	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → (𝐶 ⊆ (𝑦 ∪ 𝑢) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
60	59	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∪ 𝑢) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
61	39, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
62		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝑦)
63		elun1 3780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢))
65		rsp 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∪ 𝑢) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥}))))
66	61, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑦 ∪ 𝑢) ∖ {𝑥})))
67	50, 66	pm2.65da 600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
68	67	nrexdv 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
69		lbsext.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
70		lbsext.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝑉)
71		lbsext.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
72		lbsext.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (LSubSp‘𝑊)
73		lbsext.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
74	8, 69, 46, 28, 70, 71, 2, 72, 1, 22, 33, 73	lbsextlem2 19159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝑃 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇))
75	74	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
76	8, 72	lssss 18937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
78	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇)
79	8, 46	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
80	30, 77, 78, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘𝑇))
81	72, 46	lspid 18982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
82	30, 75, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) = 𝑇)
83	80, 82	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
84	83	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑇)
85	84, 73	syl6sseq 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) ⊆ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
86	85	sseld 3602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
87		eliun 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑢 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})))
88	86, 87	syl6ib 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))))
89	68, 88	mtod 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
90	89	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
91	26, 90	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
92	91	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
93	25, 92	jca 554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
94		sseq2 3627	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝐶 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴))
95		difeq1 3721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))
97	96	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
98	97	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
99	98	raleqbi1dv 3146	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥}))))
100	94, 99	anbi12d 747	. . 3 ⊢ (𝑧 = ∪ 𝐴 → ((𝐶 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
101	100, 2	elrab2 3366	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(∪ 𝐴 ∖ {𝑥})))))
102	12, 93, 101	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475  ∪ ciun 4520   Or wor 5034  ‘cfv 5888   [⊊] crpss 6936  Basecbs 15857  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074  LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lbsextlem4  19161