Theorem lincresunit3lem3 42263

Description: Lemma 3 for lincresunit3 42270. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit3lem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 18891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
9	4	lmodring 18871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14	12, 13	unitnegcl 18681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
15	9, 14	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
16	15	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
17	11, 16	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 18677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)))
23	22	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
24	8, 23	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
26		simpl1 1064	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
28	12, 18, 27	ringinvcl 18676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
30	4	lmodfgrp 18872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
32	27, 12	unitcl 18659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐸)
33	27, 13	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
34	31, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
35		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	29, 34, 35	3jca 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	26, 36	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
38	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
41		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
42	41	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
43	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	29, 34, 44	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
47	43, 46	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 18888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
50	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
51	50, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
53	49, 52	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
54	40, 42, 53	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
55		3simpb 1059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
57	56	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 18891	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
60	25, 54, 59	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
61	60	ex 450	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62		oveq2 6658	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
63	61, 62	impbid1 215	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  lincresunit3  42270