Theorem lkrsc 34384

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lkrsc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
5		lkrsc.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
6		lkrsc.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrsc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrsc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
9		lkrsc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
10		lkrsc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11	8, 9, 1, 10	lflf 34350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
12	6, 7, 11	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
13		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑉⟶𝐾 → 𝐺 Fn 𝑉)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
15		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
16	4, 5, 14, 15	ofc2 6921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣) · 𝑅))
17	16	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ))
18		lkrsc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
19		lkrsc.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
20	8	lvecdrng 19105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ DivRing)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
23	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
24	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
26	8, 9, 1, 10	lflcl 34351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
28	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
29		lkrsc.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
31	9, 18, 19, 22, 27, 28, 30	drngmuleq0 18770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
32	17, 31	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	pm5.32da 673	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
34		lveclmod 19106	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
35	6, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5	lflvscl 34364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
37		lkrsc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
38	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 34376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
39	6, 36, 38	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
40	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 34376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
41	6, 7, 40	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
42	33, 39, 41	3bitr4d 300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺)))
43	42	eqrdv 2620	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  {csn 4177   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944  0_gc0g 16100  DivRingcdr 18747  LModclmod 18863  LVecclvec 19102  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-lfl 34345  df-lkr 34373

This theorem is referenced by:  lkrscss  34385  ldualkrsc  34454