Theorem lmodvsinv2 19037

Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsinv2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsinv2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsinv2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsinv2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 18870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Grp)
4		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lmodvsinv2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lmodvsinv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 17469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
10	3, 4, 9	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
11	10	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
12		simp2 1062	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐾)
13	5, 8	grpinvcl 17467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4, 13	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		lmodvsinv2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		lmodvsinv2.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lmodvsinv2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
18	5, 6, 15, 16, 17	lmodvsdi 18886	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
19	1, 12, 4, 14, 18	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
20	15, 16, 17, 7	lmodvs0 18897	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	1, 12, 20	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	11, 19, 21	3eqtr3d 2664	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊))
23	5, 15, 16, 17	lmodvscl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 15, 16, 17	lmodvscl 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
25	1, 12, 14, 24	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
26	5, 6, 7, 8	grpinvid1 17470	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
28	22, 27	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)))
29	28	eqcomd 2628	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  invlmhm  19042