Theorem mdegpropd 23844

Description: Property deduction for polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
mdegpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
mdegpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mdegpropd	⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mdegpropd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegpropd.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		mdegpropd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3		mdegpropd.p	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
4	1, 2, 3	mplbaspropd 19607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
5	1, 2, 3	grpidpropd 17261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
6	5	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑐 supp (0g‘𝑅)) = (𝑐 supp (0g‘𝑆)))
7	6	imaeq2d 5466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))))
8	7	supeq1d 8352	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
9	4, 8	mpteq12dv 4733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < )) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < )))
10		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑅)
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
13		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2622	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	mdegfval 23822	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
17		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝐼 mDeg 𝑆)
18		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
19		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
20		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21	17, 18, 19, 20, 14, 15	mdegfval 23822	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑆) = (𝑐 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) ↦ sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝑐 supp (0g‘𝑆))), ℝ*, < ))
22	9, 16, 21	3eqtr4g 2681	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝐼 mDeg 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  deg1propd  23846