Theorem metcl 22137

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 22135	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 6804	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1359	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-met 19740

This theorem is referenced by:  mettri2  22146  metrtri  22162  prdsmet  22175  imasf1omet  22181  blpnf  22202  bl2in  22205  mscl  22266  metss2lem  22316  methaus  22325  nmf2  22397  metdsre  22656  iscmet3lem1  23089  minveclem2  23197  minveclem3b  23199  minveclem3  23200  minveclem4  23203  minveclem7  23206  dvlog2lem  24398  vacn  27549  nmcvcn  27550  smcnlem  27552  blocni  27660  minvecolem2  27731  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  minvecolem7  27739  metf1o  33551  mettrifi  33553  lmclim2  33554  geomcau  33555  isbnd3  33583  isbnd3b  33584  ssbnd  33587  totbndbnd  33588  equivbnd  33589  prdsbnd  33592  heibor1lem  33608  heiborlem6  33615  bfplem1  33621  bfplem2  33622  bfp  33623  rrncmslem  33631  rrnequiv  33634  rrntotbnd  33635  ioorrnopnlem  40524