Theorem dvlog2lem 24398

Description: Lemma for dvlog2 24399. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 22576	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1re 10039	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	4	rexri 10097	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		blssm 22223	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
7	2, 3, 5, 6	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
8	1, 7	eqsstri 3635	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
9	8	sseli 3599	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
10		1m0e1 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
11		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15	14	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
18		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
19	11, 12, 18	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
20	19	simp3bi 1078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
21	15, 16, 17, 20	lesub2dd 10644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
22	10, 21	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
23		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24	14, 23	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
25	24	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
27	26	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
28	3, 25, 27	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
29		0le1 10551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
31	15, 16, 17, 20, 30	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
32	15, 17, 31	abssubge0d 14170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
33	28, 32	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
34	22, 33	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
35		cnmet 22575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ))
37	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
38		metcl 22137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
39	36, 37, 25, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
40		lenlt 10116	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
41	4, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	34, 41	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
43	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
45		elbl2 22195	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
46	43, 44, 37, 25, 45	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
47	42, 46	mtbird 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	47	con2i 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
49	48, 1	eleq2s 2719	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
50	9, 49	eldifd 3585	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
51	50	ssriv 3607	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  (,]cioc 12176  abscabs 13974  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732  ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioc 12180  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  dvlog2  24399  logtayl  24406  logtayl2  24408  efrlim  24696  lgamcvg2  24781