Theorem prdsmet 22175

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsmet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmet.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4		prdsmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5		prdsmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
6		prdsmet.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsmet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsmet.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		prdsmet.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10		metxmet 22139	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 22174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 22172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
14		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞) → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
16	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
17	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
18	8	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
20		simprl 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
21		simprr 796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5	prdsdsval3 16145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
23	1, 2, 16, 17, 19, 3, 20	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	1, 2, 16, 17, 19, 3, 21	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
25		r19.26 3064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉))
26		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
27	26	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
29	28	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
31	25, 30	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
32	23, 24, 31	mp2and 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)))
34	33	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
35	32, 34	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
36		frn 6053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
38		0red 10041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
39	38	snssd 4340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
40	37, 39	unssd 3789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
41		xrltso 11974	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → < Or ℝ*)
43		mptfi 8265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
44		rnfi 8249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
45	17, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
46		snfi 8038	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
47		unfi 8227	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
48	45, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
49		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
50		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
51	50	snss 4316	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
52	49, 51	mpbir 221	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
53		ne0i 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
55		ressxr 10083	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
56	40, 55	syl6ss 3615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
57		fisupcl 8375	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
58	42, 48, 54, 56, 57	syl13anc 1328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
59	40, 58	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
60	22, 59	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
61	60	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
62		ffnov 6764	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
63	15, 61, 62	sylanbrc 698	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
64		ismet2 22138	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
65	12, 63, 64	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   Or wor 5034   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  [,]cicc 12178  Basecbs 15857  distcds 15950  X_scprds 16106  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  xpsmet  22187  prdsmslem1  22332  prdsbnd  33592  prdstotbnd  33593  prdsbnd2  33594  repwsmet  33633