Theorem minveclem3 23200

Description: Lemma for minvec 23207. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})

Assertion

Ref	Expression
minveclem3	⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3

Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2		2z 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		rpexpcl 12879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6		4nn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		nnrp 11842	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 11856	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		rabexg 4812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
17	16	breq2d 4665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
18	17	rabbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
19	15, 18	elrnmpt1s 5373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
20	10, 14, 19	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21		minvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22	20, 21	syl6eleqr 2712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
26	25	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
29	28	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
30	29	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
31	26, 30	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32		simprll 802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑌)
33		simprrl 804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
34	32, 33	ovresd 6801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35		minvec.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
36		cphngp 22973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
39		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
40	38, 39	msmet 22262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41	35, 36, 37, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44	38, 43	lssss 18937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
47	46, 32	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
48	46, 33	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
49		metcl 22137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
51	50	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
52	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
54	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56		minvec.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑈)
57		minvec.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
58	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
59	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
62		minvec.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64		minvec.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65		minvec.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
66		minvec.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
67	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
69	67	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
72	38, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71	minveclem2 23197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
73	52	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74		4cn 11098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
78	73, 75, 77	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
79	72, 78	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80		rphalflt 11860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
81	54, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
82	51, 53, 55, 79, 81	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 𝑠 ∈ ℝ)
84	83	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85		metge0 22150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
86	42, 47, 48, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87		rpge0 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
88	87	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
89	50, 84, 86, 88	lt2sqd 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
90	82, 89	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
91	34, 90	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
92	31, 91	sylan2b 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
93	92	ralrimivva 2971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94		raleq 3138	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
95	94	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
96	95	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
97	22, 93, 96	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
98	97	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
99	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39	minveclem3a 23198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100		cmetmet 23084	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101		metxmet 22139	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
102	99, 100, 101	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
103	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21	minveclem3b 23199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104		fgcfil 23069	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105	102, 103, 104	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
106	98, 105	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  4c4 11072  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ↑cexp 12860  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  distcds 15950  TopOpenctopn 16082  -_gcsg 17424  LSubSpclss 18932  ∞Metcxmt 19731  Metcme 19732  fBascfbas 19734  filGencfg 19735  MetSpcmt 22123  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  ℂPreHilccph 22966  CauFilccfil 23050  CMetcms 23052  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-fil 21650  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132

This theorem is referenced by:  minveclem4a  23201