Theorem mulgaddcom 17564

Description: The group multiple operator commutes with the group operation. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcom	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
3	1	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋))))
5		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
7	5	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
9		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋))
11	9	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
12	10, 11	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
13		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
15	13	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
16	14, 15	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
17		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
19	17	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))
20	18, 19	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
21		mulgaddcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		mulgaddcom.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
23		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	21, 22, 23	grplid 17452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
25		mulgaddcom.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
26	21, 23, 25	mulg0 17546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
28	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g‘𝐺) + 𝑋))
29	27	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
30	21, 22, 23	grprid 17453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
31	29, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0 · 𝑋)) = 𝑋)
32	24, 28, 31	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (0 · 𝑋)))
33		nn0z 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
34		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
35		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
37	34, 36, 35	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38	21, 25	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	21, 22	grpass 17431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
41	34, 35, 39, 35, 40	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
42	33, 41	syl3an3 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
44		grpmnd 17429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
46		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
47		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
48	45, 46, 47	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
49	21, 25, 22	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
52	51	biimpar 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)))
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = ((𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) + 𝑋))
54	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝑋 + ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)))
56	43, 53, 55	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))
57	56	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋))))
58	57	3expia 1267	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + ((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59		nnz 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60	21, 25, 22	mulgaddcomlem 17563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
61	60	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))
62	61	3exp 1264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
63	62	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋))))))
64	63	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
65	59, 64	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))))
66	4, 8, 12, 16, 20, 32, 58, 65	zindd 11478	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋))))
67	66	ex 450	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
68	67	com23 86	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))))
69	68	3imp 1256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulginvcom  17565