Theorem mulgaddcomlem 17563

Description: Lemma for mulgaddcom 17564. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgaddcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgaddcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgaddcomlem	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		znegcl 11412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		mulgaddcom.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgaddcom.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulgcl 17559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl3an2 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	6, 11	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	12	3adant2 1080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		mulgaddcom.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	6, 15	grpass 17431	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
17	2, 4, 10, 14, 16	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))))
18	6, 7, 11	mulgneg 17560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
21	6, 7	mulgcl 17559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	6, 15, 11	grpinvadd 17493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
24	2, 4, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)))
25	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
26	6, 15, 11	grpinvadd 17493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
27	2, 22, 4, 26	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
30	25, 27, 29	3eqtr2rd 2663	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg‘𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
31	20, 24, 30	3eqtr2d 2662	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
32	31	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
33	6, 15, 11	grpasscan1 17478	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
34	2, 4, 10, 33	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
35	17, 32, 34	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
36	35	oveq1d 6665	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
37	6, 15	grpcl 17430	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
38	1, 3, 9, 37	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
40	6, 15, 11	grpasscan2 17479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
41	2, 39, 4, 40	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
42	36, 41	eqtr3d 2658	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  -cneg 10267  ℤcz 11377  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  17564