Theorem mzpclall 37290

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 37287 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 𝑣) = (ℤ ↑𝑚 𝑉))
2	1	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
3		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2695	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3624	. . 3 ⊢ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
6		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V
7		zex 11386	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 37276	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
9	8	rgen 2922	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
10		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 7886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓))
16	14, 15	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
17	7, 6	elmap 7886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
19	18	rgen 2922	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
20	9, 19	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
21		zaddcl 11417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
23		simpl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
24		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
25		ovexd 6680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
26		inidm 3822	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 𝑣)
27	22, 23, 24, 25, 25, 26	off 6912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
28		zmulcl 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
30	29, 23, 24, 25, 25, 26	off 6912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
31	27, 30	jca 554	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
32	7, 6	elmap 7886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
33	7, 6	elmap 7886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
34	32, 33	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
35	7, 6	elmap 7886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
36	7, 6	elmap 7886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
37	35, 36	anbi12i 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
38	31, 34, 37	3imtr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
39	38	rgen2a 2977	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
40	20, 39	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
41		elmzpcl 37289	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))))))
42	10, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))))
43	5, 40, 42	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
44	4, 43	vtoclg 3266	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857   + caddc 9939   · cmul 9941  ℤcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286

This theorem is referenced by:  mzpcln0  37291  mzpincl  37297  mzpf  37299