Theorem mzpincl 37297

Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpincl	⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpval 37295	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
2		mzpclall 37290	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3		intss1 4492	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
5		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7		mzpcl1 37292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
9	8	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
11		snex 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓} ∈ V
12	10, 11	xpex 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
13	12	elint2 4482	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
14	9, 13	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
15	14	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
16		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
18		mzpcl2 37293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
20	19	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
21	10	mptex 6486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ V
22	21	elint2 4482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
23	20, 22	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
24	23	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
25	15, 24	jca 554	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
26		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	elint2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎)
28		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	28	elint2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎)
30		mzpcl34 37294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
31	30	3expib 1268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)))
32	31	ralimia 2950	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
33		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎))
34		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
35	32, 33, 34	3imtr3i 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
36	27, 29, 35	syl2anb 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
37		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ V
38	37	elint2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎)
39		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ V
40	39	elint2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)
41	38, 40	anbi12i 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
42	36, 41	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))
44	43	ralrimivv 2970	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
45	4, 25, 44	jca32 558	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46		elmzpcl 37289	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))))
47	45, 46	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
48	1, 47	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∩ cint 4475   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857   + caddc 9939   · cmul 9941  ℤcz 11377  mzPolyCldcmzpcl 37284  mzPolycmzp 37285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287

This theorem is referenced by:  mzpconst  37298  mzpproj  37300  mzpadd  37301  mzpmul  37302