Theorem nmblolbii 27654

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmblolbi.4	|- L = ( normCV ` U )
nmblolbi.5	|- M = ( normCV ` W )
nmblolbi.6	|- N = ( U normOpOLD W )
nmblolbi.7	|- B = ( U BLnOp W )
nmblolbi.u	|- U e. NrmCVec
nmblolbi.w	|- W e. NrmCVec
nmblolbii.b	|- T e. B

Assertion

Ref	Expression
nmblolbii	|- ( A e. X -> ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) )

Proof of Theorem nmblolbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( A = ( 0vec ` U ) -> ( T ` A ) = ( T ` ( 0vec ` U ) ) )
2	1	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A = ( 0vec ` U ) -> ( M ` ( T ` A ) ) = ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
3		fveq2 6191	. . . 4 |- ( A = ( 0vec ` U ) -> ( L ` A ) = ( L ` ( 0vec ` U ) ) )
4	3	oveq2d 6666	. . 3 |- ( A = ( 0vec ` U ) -> ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) = ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) ) )
5	2, 4	breq12d 4666	. 2 |- ( A = ( 0vec ` U ) -> ( ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) <-> ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) ) ) )
6		nmblolbi.u	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
7		nmblolbi.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ( BaseSet ` U )
8		nmblolbi.4	. . . . . . . . . 10 |- L = ( normCV ` U )
9	7, 8	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( L ` A ) e. RR )
10	6, 9	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( L ` A ) e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` A ) e. RR )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
13	7, 12, 8	nvz 27524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( ( L ` A ) = 0 <-> A = ( 0vec ` U ) ) )
14	6, 13	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( ( L ` A ) = 0 <-> A = ( 0vec ` U ) ) )
15	14	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( ( L ` A ) =/= 0 <-> A =/= ( 0vec ` U ) ) )
16	15	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` A ) =/= 0 )
17	11, 16	rereccld 10852	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( 1 / ( L ` A ) ) e. RR )
18	7, 12, 8	nvgt0 27529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( L ` A ) ) )
19	6, 18	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( A =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( L ` A ) ) )
20	19	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 < ( L ` A ) )
21	11, 20	recgt0d 10958	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 < ( 1 / ( L ` A ) ) )
22		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
23		ltle 10126	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / ( L ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / ( L ` A ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( L ` A ) ) ) )
24	22, 17, 23	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( 0 < ( 1 / ( L ` A ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( L ` A ) ) ) )
25	21, 24	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( L ` A ) ) )
26		nmblolbi.w	. . . . . . . . 9 |- W e. NrmCVec
27		nmblolbii.b	. . . . . . . . 9 |- T e. B
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
29		nmblolbi.7	. . . . . . . . . 10 |- B = ( U BLnOp W )
30	7, 28, 29	blof 27640	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
31	6, 26, 27, 30	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- T : X --> ( BaseSet ` W )
32	31	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> ( T ` A ) e. ( BaseSet ` W ) )
33	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( T ` A ) e. ( BaseSet ` W ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
35		nmblolbi.5	. . . . . . . 8 |- M = ( normCV ` W )
36	28, 34, 35	nvsge0 27519	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( L ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / ( L ` A ) ) ) /\ ( T ` A ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( M ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) x. ( M ` ( T ` A ) ) ) )
37	26, 36	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / ( L ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / ( L ` A ) ) ) /\ ( T ` A ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( M ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) x. ( M ` ( T ` A ) ) ) )
38	17, 25, 33, 37	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) x. ( M ` ( T ` A ) ) ) )
39	17	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC )
40		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> A e. X )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( U LnOp W ) = ( U LnOp W )
42	41, 29	bloln 27639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> T e. ( U LnOp W ) )
43	6, 26, 27, 42	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- T e. ( U LnOp W )
44	6, 26, 43	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. ( U LnOp W ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
46	7, 45, 34, 41	lnomul 27615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. ( U LnOp W ) ) /\ ( ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC /\ A e. X ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) )
47	44, 46	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC /\ A e. X ) -> ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) )
48	39, 40, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) ) = ( M ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` A ) ) ) )
50	28, 35	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` A ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( M ` ( T ` A ) ) e. RR )
51	26, 32, 50	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( M ` ( T ` A ) ) e. RR )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( T ` A ) ) e. RR )
53	52	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( T ` A ) ) e. CC )
54	11	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` A ) e. CC )
55	53, 54, 16	divrec2d 10805	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( M ` ( T ` A ) ) / ( L ` A ) ) = ( ( 1 / ( L ` A ) ) x. ( M ` ( T ` A ) ) ) )
56	38, 49, 55	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( M ` ( T ` A ) ) / ( L ` A ) ) = ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) ) )
57	7, 45	nvscl 27481	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC /\ A e. X ) -> ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X )
58	6, 57	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC /\ A e. X ) -> ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X )
59	58	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ ( 1 / ( L ` A ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X )
60	39, 59	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X )
61	7, 8	nvcl 27516	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) e. RR )
62	6, 60, 61	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) e. RR )
63	7, 45, 12, 8	nv1 27530	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = 1 )
64	6, 63	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = 1 )
65		eqle 10139	. . . . . 6 |- ( ( ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) e. RR /\ ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) = 1 ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) <_ 1 )
66	62, 64, 65	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) <_ 1 )
67	6, 26, 31	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> ( BaseSet ` W ) )
68		nmblolbi.6	. . . . . . 7 |- N = ( U normOpOLD W )
69	7, 28, 8, 35, 68	nmoolb 27626	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> ( BaseSet ` W ) ) /\ ( ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X /\ ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) <_ 1 ) ) -> ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) ) <_ ( N ` T ) )
70	67, 69	mpan 706	. . . . 5 |- ( ( ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) e. X /\ ( L ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) <_ 1 ) -> ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) ) <_ ( N ` T ) )
71	60, 66, 70	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( T ` ( ( 1 / ( L ` A ) ) ( .sOLD ` U ) A ) ) ) <_ ( N ` T ) )
72	56, 71	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( M ` ( T ` A ) ) / ( L ` A ) ) <_ ( N ` T ) )
73	7, 28, 68, 29	nmblore 27641	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B ) -> ( N ` T ) e. RR )
74	6, 26, 27, 73	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( N ` T ) e. RR
75	74	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( N ` T ) e. RR )
76		ledivmul2 10902	. . . 4 |- ( ( ( M ` ( T ` A ) ) e. RR /\ ( N ` T ) e. RR /\ ( ( L ` A ) e. RR /\ 0 < ( L ` A ) ) ) -> ( ( ( M ` ( T ` A ) ) / ( L ` A ) ) <_ ( N ` T ) <-> ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) ) )
77	52, 75, 11, 20, 76	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( ( M ` ( T ` A ) ) / ( L ` A ) ) <_ ( N ` T ) <-> ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) ) )
78	72, 77	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. X /\ A =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) )
79		0le0 11110	. . . 4 |- 0 <_ 0
80		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
81	7, 28, 12, 80, 41	lno0 27611	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. ( U LnOp W ) ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W ) )
82	6, 26, 43, 81	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W )
83	82	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( M ` ( 0vec ` W ) )
84	80, 35	nvz0 27523	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> ( M ` ( 0vec ` W ) ) = 0 )
85	26, 84	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( M ` ( 0vec ` W ) ) = 0
86	83, 85	eqtri 2644	. . . 4 |- ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0
87	12, 8	nvz0 27523	. . . . . . 7 |- ( U e. NrmCVec -> ( L ` ( 0vec ` U ) ) = 0 )
88	6, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( L ` ( 0vec ` U ) ) = 0
89	88	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( N ` T ) x. 0 )
90	74	recni 10052	. . . . . 6 |- ( N ` T ) e. CC
91	90	mul01i 10226	. . . . 5 |- ( ( N ` T ) x. 0 ) = 0
92	89, 91	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0
93	79, 86, 92	3brtr4i 4683	. . 3 |- ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) )
94	93	a1i 11	. 2 |- ( A e. X -> ( M ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` ( 0vec ` U ) ) ) )
95	5, 78, 94	pm2.61ne 2879	1 |- ( A e. X -> ( M ` ( T ` A ) ) <_ ( ( N ` T ) x. ( L ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   norm_CVcnmcv 27445   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601

This theorem is referenced by:  nmblolbi  27655