Theorem extwwlkfablem2 27210

Description: Lemma 2 for extwwlkfab 27223. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfablem2	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem extwwlkfablem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 11731	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2		eluzelz 11697	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4		1nn0 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		eluzmn 11694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) − 1)))
7		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		sub1m1 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ≥‘(𝑁 − 2)) = (ℤ≥‘((𝑁 − 1) − 1)))
12	6, 11	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
14	1, 13	jca 554	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
16	15	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
17		eluzge3nn 11730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	anim1i 592	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
20	19	3adant3 1081	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
21		clwwlksnwwlksn 27209	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → 𝑤 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → 𝑤 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
23		simp3 1063	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
24		clwwlkinwwlk 26905	. 2 ⊢ ((((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
25	16, 22, 23, 24	syl3anc 1326	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687   substr csubstr 13295   USGraph cusgr 26044   WWalksN cwwlksn 26718   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  extwwlkfab  27223