Theorem odbezout 17975

Description: If 𝑁 is coprime to the order of 𝐴, there is a modular inverse 𝑥 to cancel multiplication by 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odbezout	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odbezout

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1065	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		odmulgid.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		odmulgid.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5	3, 4	odcl 17955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
8		bezout 15260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
9	1, 7, 8	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)))
10		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
11	10	eqcoms 2630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
12		simpll1 1100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
13	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	13, 14	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ)
16	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17	16, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
19		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	18, 19	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ)
21		odmulgid.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
23	3, 21, 22	mulgdir 17573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
24	12, 15, 20, 16, 23	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)))
25	13	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	14	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	25, 26	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑥) = (𝑥 · 𝑁))
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴))
29	3, 21	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
30	12, 14, 13, 16, 29	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
31	28, 30	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑥) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
32		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
33	18, 19, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦))
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35	3, 4, 21, 34	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
36	12, 16, 20, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ ((𝑂‘𝐴) · 𝑦) ↔ (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
37	33, 36	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	31, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
39	3, 21	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
40	12, 13, 16, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
41	3, 21	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
42	12, 14, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋)
43	3, 22, 34	grprid 17453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
44	12, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑁 · 𝐴))(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
45	38, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) · 𝐴)(+g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · 𝑦) · 𝐴)) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
46	24, 45	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)))
47		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
49	3, 21	mulg1 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
50	16, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
51	48, 50	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 𝐴)
52	46, 51	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) · 𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ↔ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
53	11, 52	syl5ib 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
54	53	anassrs 680	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
55	54	rexlimdva 3031	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
56	55	reximdva 3017	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑁 · 𝑥) + ((𝑂‘𝐴) · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴))
57	9, 56	mpd 15	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑁 · 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377   ∥ cdvds 14983   gcd cgcd 15216  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  18474