Theorem odbezout 17975

Description: If N is coprime to the order of A, there is a modular inverse x to cancel multiplication by N. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	|- X = ( Base ` G )
odmulgid.2	|- O = ( od ` G )
odmulgid.3	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
odbezout	|- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> E. x e. ZZ ( x .x. ( N .x. A ) ) = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, N   x, O   x, .x.   x, X

Proof of Theorem odbezout

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> N e. ZZ )
2		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> A e. X )
3		odmulgid.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		odmulgid.2	. . . . . 6 |- O = ( od ` G )
5	3, 4	odcl 17955	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
7	6	nn0zd 11480	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
8		bezout 15260	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) )
9	1, 7, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) = ( N gcd ( O ` A ) ) -> ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) .x. A ) )
11	10	eqcoms 2630	. . . . . 6 |- ( ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) -> ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) .x. A ) )
12		simpll1 1100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> G e. Grp )
13	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
14		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
15	13, 14	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N x. x ) e. ZZ )
16	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. X )
17	16, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
18	17	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
19		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
20	18, 19	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) x. y ) e. ZZ )
21		odmulgid.3	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` G )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
23	3, 21, 22	mulgdir 17573	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N x. x ) e. ZZ /\ ( ( O ` A ) x. y ) e. ZZ /\ A e. X ) ) -> ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( ( ( N x. x ) .x. A ) ( +g ` G ) ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) ) )
24	12, 15, 20, 16, 23	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( ( ( N x. x ) .x. A ) ( +g ` G ) ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) ) )
25	13	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> N e. CC )
26	14	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
27	25, 26	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N x. x ) = ( x x. N ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. x ) .x. A ) = ( ( x x. N ) .x. A ) )
29	3, 21	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A e. X ) ) -> ( ( x x. N ) .x. A ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
30	12, 14, 13, 16, 29	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. N ) .x. A ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
31	28, 30	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N x. x ) .x. A ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
32		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` A ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( O ` A ) || ( ( O ` A ) x. y ) )
33	18, 19, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( O ` A ) || ( ( O ` A ) x. y ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
35	3, 4, 21, 34	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( ( O ` A ) x. y ) e. ZZ ) -> ( ( O ` A ) || ( ( O ` A ) x. y ) <-> ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) = ( 0g ` G ) ) )
36	12, 16, 20, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( ( O ` A ) x. y ) <-> ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) = ( 0g ` G ) ) )
37	33, 36	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) = ( 0g ` G ) )
38	31, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. x ) .x. A ) ( +g ` G ) ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) ) = ( ( x .x. ( N .x. A ) ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
39	3, 21	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ A e. X ) -> ( N .x. A ) e. X )
40	12, 13, 16, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N .x. A ) e. X )
41	3, 21	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ZZ /\ ( N .x. A ) e. X ) -> ( x .x. ( N .x. A ) ) e. X )
42	12, 14, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x .x. ( N .x. A ) ) e. X )
43	3, 22, 34	grprid 17453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( x .x. ( N .x. A ) ) e. X ) -> ( ( x .x. ( N .x. A ) ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
44	12, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x .x. ( N .x. A ) ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. x ) .x. A ) ( +g ` G ) ( ( ( O ` A ) x. y ) .x. A ) ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
46	24, 45	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( x .x. ( N .x. A ) ) )
47		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) .x. A ) = ( 1 .x. A ) )
49	3, 21	mulg1 17548	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( 1 .x. A ) = A )
50	16, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( 1 .x. A ) = A )
51	48, 50	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) .x. A ) = A )
52	46, 51	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) .x. A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) .x. A ) <-> ( x .x. ( N .x. A ) ) = A ) )
53	11, 52	syl5ib 234	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) -> ( x .x. ( N .x. A ) ) = A ) )
54	53	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) -> ( x .x. ( N .x. A ) ) = A ) )
55	54	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( E. y e. ZZ ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) -> ( x .x. ( N .x. A ) ) = A ) )
56	55	reximdva 3017	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N gcd ( O ` A ) ) = ( ( N x. x ) + ( ( O ` A ) x. y ) ) -> E. x e. ZZ ( x .x. ( N .x. A ) ) = A ) )
57	9, 56	mpd 15	1 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 1 ) -> E. x e. ZZ ( x .x. ( N .x. A ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  18474