Theorem oddcomabszz 37509

Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddcomabszz.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5	⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6	⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7	⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
oddcomabszz	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ)))
3		csbeq1 3536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴)
4	3	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴))
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
6	5	csbeq1d 3540	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
7	4, 6	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 ↔ (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
8	2, 7	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)))
9		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)
10		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
11	10	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ
12	9, 11	nfim 1825	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
14	13	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
15		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → 𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
16	15	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)))
18		oddcomabszz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	12, 17, 18	chvar 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
21		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥0
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24	22, 23, 10	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴
25	21, 24	nfim 1825	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
27	13, 26	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
28	15	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
29	27, 28	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
30		oddcomabszz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
31	25, 29, 30	chvar 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
32	31	3expa 1265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
33	20, 32	absidd 14161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
34		zre 11381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
35	34	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36		absid 14036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
37	35, 36	sylancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
38	37	csbeq1d 3540	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
39	33, 38	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
40		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
42	41	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ)))
43		negex 10279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -𝑦 ∈ V
44		oddcomabszz.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → 𝐴 = 𝐶)
45	43, 44	csbie 3559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐶
46		negeq 10273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
47	46	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋-𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
48	45, 47	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐶 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
49		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
50		oddcomabszz.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
51	49, 50	csbie 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐵
52		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
53	51, 52	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝐵 = ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
54	53	negeqd 10275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
55	48, 54	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵 ↔ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
56	42, 55	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
57		oddcomabszz.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
58	40, 56, 57	chvar 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
59	58	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
60	34	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61		absnid 14038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
62	60, 61	sylancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
63	62	csbeq1d 3540	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
64	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
65		znegcl 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
68	22, 23, 67	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴
69	66, 68	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
70		negex 10279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -𝑎 ∈ V
71		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
73	71, 72	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → 𝐴 = ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
76	73, 75	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)))
77	69, 70, 76, 30	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
78	77	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
79	65, 78	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
80	58	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ ⦋-𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
81	79, 80	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
82	34	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
83	82	le0neg1d 10599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
84	19	le0neg1d 10599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴))
85	81, 83, 84	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0))
86	85	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → ⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴 ≤ 0)
87	64, 86	absnidd 14152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = -⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴)
88	59, 63, 87	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
89		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
90		letric 10137	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
91	89, 34, 90	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
92	91	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎 ∨ 𝑎 ≤ 0))
93	39, 88, 92	mpjaodan 827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝑎 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝑎) / 𝑥⦌𝐴)
94	8, 93	vtoclg 3266	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴))
95	94	anabsi7 860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴)
96		nfcvd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → Ⅎ𝑥𝐸)
97		oddcomabszz.6	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → 𝐴 = 𝐸)
98	96, 97	csbiegf 3557	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → ⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐸)
99	98	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
100	99	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘⦋𝐷 / 𝑥⦌𝐴) = (abs‘𝐸))
101		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ V
102		oddcomabszz.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103	101, 102	csbie 3559	. . 3 ⊢ ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹
104	103	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ⦋(abs‘𝐷) / 𝑥⦌𝐴 = 𝐹)
105	95, 100, 104	3eqtr3d 2664	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⦋csb 3533   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℝcr 9935  0cc0 9936   ≤ cle 10075  -cneg 10267  ℤcz 11377  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  rmyabs  37525