Theorem om2uzoi 12754

Description: An alternative definition of 𝐺 in terms of df-oi 8415. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzoi	⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7074	. . . 4 ⊢ Ord ω
2		om2uz.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
3		om2uz.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
4	2, 3	om2uzisoi 12753	. . . 4 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))
5	1, 4	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)))
6		ordwe 5736	. . . . . 6 ⊢ (Ord ω → E We ω)
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ E We ω
8		isowe 6599	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) → ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶)))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( E We ω ↔ < We (ℤ≥‘𝐶))
10	7, 9	mpbi 220	. . . 4 ⊢ < We (ℤ≥‘𝐶)
11		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝐶) ∈ V
12		exse 5078	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝐶) ∈ V → < Se (ℤ≥‘𝐶))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se (ℤ≥‘𝐶)
14		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))
15	14	oieu 8444	. . . 4 ⊢ (( < We (ℤ≥‘𝐶) ∧ < Se (ℤ≥‘𝐶)) → ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))))
16	10, 13, 15	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))) ↔ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))))
17	5, 16	mpbi 220	. 2 ⊢ (ω = dom OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)) ∧ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶)))
18	17	simpri 478	1 ⊢ 𝐺 = OrdIso( < , (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ↦ cmpt 4729   E cep 5028   Se wse 5071   We wwe 5072  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  Ord word 5722  ‘cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650  ωcom 7065  reccrdg 7505  OrdIsocoi 8414  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-oi 8415  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  ltbwe  19472