Theorem ltbwe 19472

Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltbval.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
ltbval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ltbval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ltbval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
ltbwe.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
ltbwe	⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem ltbwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
3	2	cbvrabv 3199	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp 0}
4		ltbwe.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
5		nn0uz 11722	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		ltweuz 12760	. . . . . . 7 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
7		weeq2 5103	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
8	6, 7	mpbiri 248	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → < We ℕ0)
9	5, 8	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < We ℕ0)
10		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ne0i 3921	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ℕ0 ≠ ∅)
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ≠ ∅)
13		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ OrdIso(𝑇, 𝐼) = OrdIso(𝑇, 𝐼)
14		0z 11388	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15		hashgval2 13167	. . . . . . 7 ⊢ (# ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
16	14, 15	om2uzoi 12754	. . . . . 6 ⊢ (# ↾ ω) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
17		oieq2 8418	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0)))
18	5, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ OrdIso( < , ℕ0) = OrdIso( < , (ℤ≥‘0))
19	16, 18	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (# ↾ ω) = OrdIso( < , ℕ0)
20		peano1 7085	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
21		fvres 6207	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ω → ((# ↾ ω)‘∅) = (#‘∅))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((# ↾ ω)‘∅) = (#‘∅)
23		hash0 13158	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
24	22, 23	eqtr2i 2645	. . . . 5 ⊢ 0 = ((# ↾ ω)‘∅)
25	1, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24	wemapwe 8594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		ltbval.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		elmapfun 7881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → Fun ℎ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → Fun ℎ)
29		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
30		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 0 ∈ V)
32		funisfsupp 8280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun ℎ ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (ℎ finSupp 0 ↔ (ℎ supp 0) ∈ Fin))
34		ltbval.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
35		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → ℎ:𝐼⟶ℕ0)
36		frnnn0supp 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → (ℎ supp 0) = (◡ℎ “ ℕ))
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℎ:𝐼⟶ℕ0) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
38	34, 35, 37	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((ℎ supp 0) ∈ Fin ↔ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin))
39	33, 38	bitr2d 269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin ↔ ℎ finSupp 0))
40	39	rabbidva 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
41	26, 40	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
42		weeq2 5103	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
44	25, 43	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷)
45		weinxp 5186	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
46	44, 45	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷)
47		ltbval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
48		ltbval.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
49	47, 26, 34, 48	ltbval 19471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))})
50		df-xp 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 × 𝐷) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)}
51		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
52		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
53	51, 52	prss 4351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54	53	opabbii 4717	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷}
55	50, 54	eqtr2i 2645	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} = (𝐷 × 𝐷)
56	55	ineq1i 3810	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))})
57		inopab 5252	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))}
58		incom 3805	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × 𝐷) ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
59	56, 57, 58	3eqtr3i 2652	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))} = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷))
60	49, 59	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)))
61		weeq1 5102	. . 3 ⊢ (𝐶 = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
62	60, 61	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 We 𝐷 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐼 (𝑧𝑇𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} ∩ (𝐷 × 𝐷)) We 𝐷))
63	46, 62	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 We 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  {copab 4712   We wwe 5072   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116   “ cima 5117  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414  0cc0 9936   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  #chash 13117   <_bag cltb 19354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ltbag 19359

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  19485