Theorem om2uzuzi 12748

Description: The value 𝐺 (see om2uz0i 12746) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzuzi	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzuzi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘∅))
2	1	eleq1d 2686	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
3		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
4	3	eleq1d 2686	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
5		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘suc 𝑧))
6	5	eleq1d 2686	. 2 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
7		fveq2 6191	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝐴))
8	7	eleq1d 2686	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐺‘𝑦) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
9		om2uz.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
10		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
11	9, 10	om2uz0i 12746	. . 3 ⊢ (𝐺‘∅) = 𝐶
12		uzid 11702	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐶)
14	11, 13	eqeltri 2697	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ (ℤ≥‘𝐶)
15		peano2uz 11741	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	9, 10	om2uzsuci 12747	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺‘𝑧) + 1))
17	16	eleq1d 2686	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ ((𝐺‘𝑧) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	15, 17	syl5ibr 236	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝐺‘𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘suc 𝑧) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	2, 4, 6, 8, 14, 18	finds 7092	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116  suc csuc 5725  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065  reccrdg 7505  1c1 9937   + caddc 9939  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  om2uzlti  12749  om2uzlt2i  12750  om2uzrani  12751  om2uzf1oi  12752  uzrdgfni  12757  uzrdgxfr  12766  unbenlem  15612