Theorem pcprendvds 15545

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
2		pclem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
3	1, 2	pcprecl 15544	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
4	3	simpld 475	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		nn0re 11301	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
6		ltp1 10861	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → 𝑆 < (𝑆 + 1))
7		peano2re 10209	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 + 1) ∈ ℝ)
8		ltnle 10117	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 1) ∈ ℝ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
9	7, 8	mpdan 702	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → (𝑆 < (𝑆 + 1) ↔ ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
10	6, 9	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
11	4, 5, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
12	1	pclem 15543	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
13		peano2nn0 11333	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
14		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
15	14	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 1) → ((𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
17	16	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
18	17	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
19	1, 18	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
20	15, 19	elrab2 3366	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
21	20	simplbi2 655	. . . 4 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
22	4, 13, 21	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ∈ 𝐴))
23		suprzub 11779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
24	23, 2	syl6breqr 4695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆)
25	24	3expia 1267	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
26	25	3adant2 1080	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝑆 + 1) ∈ 𝐴 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
27	12, 22, 26	sylsyld 61	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁 → (𝑆 + 1) ≤ 𝑆))
28	11, 27	mtod 189	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ↑cexp 12860   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  pcprendvds2  15546  pczndvds  15569