Theorem pcprendvds 15545

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> -. ( P ^ ( S + 1 ) ) || N )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcprendvds

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . . . 5 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
2		pclem.2	. . . . 5 |- S = sup ( A , RR , < )
3	1, 2	pcprecl 15544	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
4	3	simpld 475	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
5		nn0re 11301	. . 3 |- ( S e. NN0 -> S e. RR )
6		ltp1 10861	. . . 4 |- ( S e. RR -> S < ( S + 1 ) )
7		peano2re 10209	. . . . 5 |- ( S e. RR -> ( S + 1 ) e. RR )
8		ltnle 10117	. . . . 5 |- ( ( S e. RR /\ ( S + 1 ) e. RR ) -> ( S < ( S + 1 ) <-> -. ( S + 1 ) <_ S ) )
9	7, 8	mpdan 702	. . . 4 |- ( S e. RR -> ( S < ( S + 1 ) <-> -. ( S + 1 ) <_ S ) )
10	6, 9	mpbid 222	. . 3 |- ( S e. RR -> -. ( S + 1 ) <_ S )
11	4, 5, 10	3syl 18	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> -. ( S + 1 ) <_ S )
12	1	pclem 15543	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) )
13		peano2nn0 11333	. . . 4 |- ( S e. NN0 -> ( S + 1 ) e. NN0 )
14		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( S + 1 ) -> ( P ^ x ) = ( P ^ ( S + 1 ) ) )
15	14	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = ( S + 1 ) -> ( ( P ^ x ) || N <-> ( P ^ ( S + 1 ) ) || N ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = x -> ( P ^ n ) = ( P ^ x ) )
17	16	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( ( P ^ n ) || N <-> ( P ^ x ) || N ) )
18	17	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N } = { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N }
19	1, 18	eqtri 2644	. . . . . 6 |- A = { x e. NN0 | ( P ^ x ) || N }
20	15, 19	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( ( S + 1 ) e. A <-> ( ( S + 1 ) e. NN0 /\ ( P ^ ( S + 1 ) ) || N ) )
21	20	simplbi2 655	. . . 4 |- ( ( S + 1 ) e. NN0 -> ( ( P ^ ( S + 1 ) ) || N -> ( S + 1 ) e. A ) )
22	4, 13, 21	3syl 18	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( P ^ ( S + 1 ) ) || N -> ( S + 1 ) e. A ) )
23		suprzub 11779	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x /\ ( S + 1 ) e. A ) -> ( S + 1 ) <_ sup ( A , RR , < ) )
24	23, 2	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x /\ ( S + 1 ) e. A ) -> ( S + 1 ) <_ S )
25	24	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( A C_ ZZ /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> ( ( S + 1 ) e. A -> ( S + 1 ) <_ S ) )
26	25	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> ( ( S + 1 ) e. A -> ( S + 1 ) <_ S ) )
27	12, 22, 26	sylsyld 61	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( P ^ ( S + 1 ) ) || N -> ( S + 1 ) <_ S ) )
28	11, 27	mtod 189	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> -. ( P ^ ( S + 1 ) ) || N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  pcprendvds2  15546  pczndvds  15569